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물리학 강의 노트

개념완성

에너지 갭 (Band Gap)

1. 에너지 갭의 정의

정의4.1에너지 갭

에너지 갭(band gap, energy gap) EgE_g는 가전자대(valence band)의 최대 에너지와 전도대(conduction band)의 최소 에너지 사이의 에너지 차이이다:

Eg=εcmin⁡−εvmax⁡E_g = \varepsilon_c^{\min} - \varepsilon_v^{\max}

에너지 갭 내에는 블로흐 상태가 존재하지 않으며, 이 영역에서 전자 상태밀도는 g(ε)=0g(\varepsilon) = 0이다.

에너지 갭의 존재는 주기적 퍼텐셜의 직접적인 결과이다. 자유전자 모형(V=0V=0)에서는 에너지가 연속적이지만, 주기 퍼텐셜이 도입되면 브릴루앙 영역 경계에서 에너지 갭이 열린다.

2. 거의 자유전자 모형에서의 에너지 갭

유도에너지 갭의 발생 메커니즘

1차원에서 약한 주기 퍼텐셜 V(x)=∑GVGeiGxV(x) = \sum_G V_G e^{iGx}를 고려하자. k=π/ak = \pi/a (브릴루앙 영역 경계)에서, 자유전자 상태 ∣k⟩|k\rangle과 ∣k−G⟩=∣−π/a⟩|k-G\rangle = |{-\pi/a}\rangle은 거의 축퇴한다:

εk(0)=εk−G(0)=ℏ2π22ma2\varepsilon^{(0)}_k = \varepsilon^{(0)}_{k-G} = \frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}

2상태 축퇴 섭동론을 적용한다. 세속 방정식:

∣εk(0)−εVGVG∗εk−G(0)−ε∣=0\begin{vmatrix} \varepsilon^{(0)}_k - \varepsilon & V_G \\ V_G^* & \varepsilon^{(0)}_{k-G} - \varepsilon \end{vmatrix} = 0

축퇴 조건 εk(0)=εk−G(0)\varepsilon^{(0)}_k = \varepsilon^{(0)}_{k-G}에서:

(ε(0)−ε)2=∣VG∣2(\varepsilon^{(0)} - \varepsilon)^2 = |V_G|^2ε±=ε(0)±∣VG∣\varepsilon_{\pm} = \varepsilon^{(0)} \pm |V_G|

따라서 에너지 갭은:

Eg=2∣VG∣\boxed{E_g = 2|V_G|}

에너지 갭은 주기 퍼텐셜의 푸리에 성분 VGV_G의 크기에 비례한다.

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대응하는 파동함수는 정재파이다:

ψ+∝cos⁡(πx/a),ψ−∝sin⁡(πx/a)\psi_+ \propto \cos(\pi x/a), \quad \psi_- \propto \sin(\pi x/a)

ψ+\psi_+는 이온 위치에서 전자 밀도가 최대이므로 에너지가 낮고(가전자대 위 끝), ψ−\psi_-는 이온 사이에서 밀도가 최대이므로 에너지가 높다(전도대 아래 끝).

3. 직접 갭과 간접 갭

정의4.2직접 갭과 간접 갭
  • 직접 갭(direct gap): 가전자대 최대와 전도대 최소가 k\mathbf{k}-공간의 같은 점에 위치:
kvmax⁡=kcmin⁡\mathbf{k}_v^{\max} = \mathbf{k}_c^{\min}
  • 간접 갭(indirect gap): 가전자대 최대와 전도대 최소가 k\mathbf{k}-공간의 다른 점에 위치:
kvmax⁡≠kcmin⁡\mathbf{k}_v^{\max} \neq \mathbf{k}_c^{\min}

직접 갭 반도체에서는 광자 하나의 흡수/방출로 전자 전이가 가능하다 (광자의 운동량은 무시 가능). 간접 갭 반도체에서는 운동량 보존을 위해 포논의 도움이 필요하다.

주요 반도체의 갭 유형:

| 물질 | 갭 유형 | EgE_g (eV, 300 K) | 응용 | |------|--------|-----------|------| | Si | 간접 | 1.12 | 트랜지스터, 태양전지 | | Ge | 간접 | 0.66 | 적외선 검출기 | | GaAs | 직접 | 1.42 | LED, 레이저 다이오드 | | InP | 직접 | 1.35 | 광통신 | | GaN | 직접 | 3.39 | 청색 LED | | SiC | 간접 | 3.26 | 고전력 소자 |

4. 에너지 갭의 온도 의존성

정의4.3바르슈니 공식

반도체의 에너지 갭은 온도가 증가함에 따라 일반적으로 감소한다. 이는 경험적으로 바르슈니 공식(Varshni formula)으로 기술된다:

Eg(T)=Eg(0)−αT2T+βE_g(T) = E_g(0) - \frac{\alpha T^2}{T + \beta}

여기서 α\alpha와 β\beta는 물질에 의존하는 매개변수이다.

에너지 갭의 온도 감소는 두 가지 원인이 있다:

  1. 격자 열팽창: 원자간 거리가 증가하여 겹침 적분이 변화
  2. 전자-포논 상호작용: 포논에 의한 밴드 가장자리의 재규격화

Si의 경우: Eg(0)=1.17 eVE_g(0) = 1.17\,\text{eV}, α=4.73×10−4 eV/K\alpha = 4.73 \times 10^{-4}\,\text{eV/K}, β=636 K\beta = 636\,\text{K}.

5. 금속, 반도체, 부도체의 구분

에너지 갭과 밴드 채움에 의해 물질을 분류할 수 있다.

정의4.4물질의 전기적 분류
  • 금속: 부분적으로 채워진 밴드가 존재. 에너지 갭이 전도에 관여하지 않음. σ∼106–108 S/m\sigma \sim 10^6\text{--}10^8\,\text{S/m}
  • 반도체: 완전히 채워진 가전자대와 빈 전도대. 좁은 에너지 갭 (Eg≲3–4 eVE_g \lesssim 3\text{--}4\,\text{eV}). 열적 여기로 전도 가능. σ∼10−4–104 S/m\sigma \sim 10^{-4}\text{--}10^4\,\text{S/m}
  • 부도체: 넓은 에너지 갭 (Eg≳4 eVE_g \gtrsim 4\,\text{eV}). 실온에서 열적 여기 거의 불가. σ<10−10 S/m\sigma < 10^{-10}\,\text{S/m}

전도대 내 열적 여기 전자의 농도:

n∝e−Eg/(2kBT)n \propto e^{-E_g/(2k_BT)}

반도체와 부도체의 구분은 명확하지 않으며, 주로 관례적인 것이다. Eg∼3–4 eVE_g \sim 3\text{--}4\,\text{eV} 영역에서는 넓은 갭 반도체(wide-gap semiconductor)라 부른다.

6. 에너지 갭의 측정

예제광흡수 스펙트럼을 이용한 에너지 갭 측정

직접 갭 반도체에서 흡수 계수 α(ℏω)\alpha(\hbar\omega)는 밴드 가장자리 근처에서 다음과 같이 거동한다:

α(ℏω)∝(ℏω−Eg)1/2,ℏω>Eg\alpha(\hbar\omega) \propto (\hbar\omega - E_g)^{1/2}, \quad \hbar\omega > E_g

따라서 α2\alpha^2 대 ℏω\hbar\omega 그래프를 그려 직선 외삽하면 에너지 갭을 결정할 수 있다 (Tauc plot).

간접 갭 반도체에서는 포논 흡수/방출을 수반하므로:

α(ℏω)∝(ℏω−Eg±ℏωphonon)2\alpha(\hbar\omega) \propto (\hbar\omega - E_g \pm \hbar\omega_{\text{phonon}})^2

이 경우 α1/2\alpha^{1/2} 대 ℏω\hbar\omega 그래프에서 에너지 갭을 결정한다.

참고에너지 갭 엔지니어링

현대 반도체 공학에서는 합금 조성, 양자 우물 두께, 변형(strain) 등을 제어하여 에너지 갭을 목적에 맞게 조절한다. 예를 들어, AlxGa1−xAs\text{Al}_x\text{Ga}_{1-x}\text{As} 합금은 xx에 따라 EgE_g가 1.42 eV1.42\,\text{eV} (GaAs)에서 2.16 eV2.16\,\text{eV} (AlAs)까지 연속적으로 변한다. 이는 LED, 레이저, 태양전지 등의 설계에 핵심적인 기술이다.