도핑 (Doping)

1. 진성 반도체

정의5.1진성 반도체

진성 반도체(intrinsic semiconductor)는 불순물이 없는 순수한 반도체이다. 열적 여기에 의해 전도대로 올라간 전자와 가전자대에 남은 양공의 수가 같다:

n_i = p_i = n_{\text{intrinsic}}

진성 캐리어 농도는:

n_i = \sqrt{N_c N_v}\,\exp\left(-\frac{E_g}{2k_BT}\right)

여기서 $N_c$ 와 $N_v$ 는 각각 전도대와 가전자대의 유효 상태밀도이다.

유효 상태밀도는:

N_c = 2\left(\frac{m_e^* k_BT}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2}, \quad N_v = 2\left(\frac{m_h^* k_BT}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2}

Si의 경우, 실온에서 $n_i \approx 1.0 \times 10^{10}\,\text{cm}^{-3}$ 이다. 이는 Si의 원자 밀도 $5 \times 10^{22}\,\text{cm}^{-3}$ 에 비해 극히 작은 값이다.

2. 불순물 도핑

정의5.2도핑

도핑(doping)이란 반도체에 의도적으로 불순물 원자를 첨가하여 전하 운반자의 종류와 농도를 제어하는 기술이다.

n형 도핑: 도너(donor) 불순물을 첨가하여 전도대에 전자를 공급. Si에서는 5족 원소(P, As, Sb)를 사용.
p형 도핑: 억셉터(acceptor) 불순물을 첨가하여 가전자대에 양공을 생성. Si에서는 3족 원소(B, Al, Ga)를 사용.

3. 도너와 억셉터 준위

유도수소 유사 모형에 의한 도너 이온화 에너지

Si 결정 내 5족 불순물(예: P)은 4개의 전자를 Si과의 공유 결합에 사용하고, 나머지 1개의 전자가 양의 불순물 이온 주위에 약하게 속박된다. 이를 수소 원자의 유사 문제로 취급한다.

수소 원자의 이온화 에너지를 결정 내 상황에 맞게 수정한다:

전자 질량 $m \to m_e^*$ (유효 질량)
진공 유전율 $\varepsilon_0 \to \varepsilon_r \varepsilon_0$ (유전 차폐)

E_d = \frac{m_e^*}{m_e} \cdot \frac{1}{\varepsilon_r^2} \cdot 13.6\,\text{eV}

Si의 경우 ( $m_e^*/m_e \approx 0.26$ , $\varepsilon_r = 11.7$ ):

E_d = \frac{0.26}{11.7^2} \times 13.6 \approx 0.026\,\text{eV} \approx 26\,\text{meV}

유효 보어 반지름:

a_d^* = \frac{\varepsilon_r}{m_e^*/m_e} \cdot a_0 = \frac{11.7}{0.26} \times 0.529\,\text{\AA} \approx 24\,\text{\AA}

이 큰 궤도 반지름은 수소 유사 모형의 유효 매질 근사를 정당화한다.

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실온에서 $k_BT \approx 26\,\text{meV} \approx E_d$ 이므로, Si 내 도너 불순물은 실온에서 거의 완전히 이온화된다.

4. 캐리어 농도의 온도 의존성

정의5.3질량 작용 법칙

열평형 상태에서 전자 농도 $n$ 과 양공 농도 $p$ 의 곱은 도핑에 무관한 상수이다:

np = n_i^2 = N_c N_v \exp\left(-\frac{E_g}{k_BT}\right)

이를 질량 작용 법칙(law of mass action)이라 한다.

n형 반도체 ( $N_d$ 도너 농도, $N_d \gg n_i$ ):

완전 이온화 영역에서:

n \approx N_d, \quad p = \frac{n_i^2}{N_d}

전자가 다수 캐리어(majority carrier), 양공이 소수 캐리어(minority carrier)이다.

온도 영역에 따른 캐리어 농도 변화:

| 온도 영역 | 특성 | $n$ 거동 | |-----------|------|----------| | 동결 영역 (Freeze-out) | $T$ 매우 낮음 | $n \propto e^{-E_d/(2k_BT)}$ | | 포화 영역 (Saturation) | 중간 온도 | $n \approx N_d$ (상수) | | 진성 영역 (Intrinsic) | $T$ 매우 높음 | $n \approx n_i \propto e^{-E_g/(2k_BT)}$ |

5. 페르미 준위의 위치

유도도핑된 반도체의 페르미 준위

n형 반도체에서, 전하 중성 조건 $n = p + N_d^+$ 와 질량 작용 법칙으로부터 페르미 준위를 결정할 수 있다.

완전 이온화, $N_d \gg n_i$ 인 경우:

n = N_c \exp\left(-\frac{\varepsilon_c - \varepsilon_F}{k_BT}\right) \approx N_d

따라서:

\varepsilon_F = \varepsilon_c - k_BT\ln\frac{N_c}{N_d}

도핑 농도가 높을수록 페르미 준위가 전도대에 가까워진다. $N_d > N_c$ 이면 페르미 준위가 전도대 안으로 들어가며, 이를 축퇴 반도체(degenerate semiconductor)라 한다.

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진성 반도체의 페르미 준위:

\varepsilon_F^{(i)} = \frac{\varepsilon_c + \varepsilon_v}{2} + \frac{k_BT}{2}\ln\frac{N_v}{N_c} = \frac{\varepsilon_c + \varepsilon_v}{2} + \frac{3k_BT}{4}\ln\frac{m_h^*}{m_e^*}

$m_h^* = m_e^*$ 이면 페르미 준위는 정확히 에너지 갭의 중앙에 위치한다.

6. 보상 도핑과 고급 도핑 기술

참고보상 도핑

동일한 반도체에 도너( $N_d$ )와 억셉터( $N_a$ )를 동시에 첨가하면 보상 도핑(compensated doping)이 된다. 유효 도핑 농도는 $|N_d - N_a|$ 이다:

$N_d > N_a$ : n형, $n \approx N_d - N_a$
$N_a > N_d$ : p형, $p \approx N_a - N_d$

보상 도핑은 산란 중심을 증가시켜 이동도를 감소시키므로, 일반적으로 바람직하지 않다.

예제Si 도핑 농도와 저항률

인(P)을 $N_d = 10^{16}\,\text{cm}^{-3}$ 로 도핑한 n형 Si의 실온 저항률을 구하면:

$n \approx N_d = 10^{16}\,\text{cm}^{-3}$ 이고, 이 농도에서 전자 이동도는 $\mu_n \approx 1200\,\text{cm}^2/(\text{V}\cdot\text{s})$ 이다.

전도도:

\sigma = ne\mu_n = 10^{16} \times 1.602 \times 10^{-19} \times 1200 = 1.922\,\text{S/cm} = 192.2\,\text{S/m}

저항률:

\rho = \frac{1}{\sigma} = 0.520\,\Omega\cdot\text{cm}

비교: 진성 Si의 저항률은 약 $2.3 \times 10^5\,\Omega\cdot\text{cm}$ 이다. $10^{16}\,\text{cm}^{-3}$ 의 도핑(Si 원자 $\sim 10^{13}$ 개 중 1개)만으로 저항률이 $10^5$ 배 이상 감소한다. 이것이 도핑의 놀라운 위력이다.