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물리학 강의 노트

개념완성

반자성 (Diamagnetism)

1. 반자성의 개념

정의6.1반자성

반자성(diamagnetism)은 외부 자기장에 대해 물질이 약한 반발(반대 방향) 자화를 나타내는 현상이다. 반자성 자화율 χ\chi는:

χdia<0,∣χdia∣∼10−5\chi_{\text{dia}} < 0, \quad |\chi_{\text{dia}}| \sim 10^{-5}

반자성은 모든 물질에 존재하는 보편적 현상이다. 그러나 상자성이나 강자성이 있는 경우 이들이 반자성을 압도한다.

물리적으로, 반자성은 렌츠의 법칙(Lenz's law)의 원자적 표현이다. 외부 자기장이 인가되면, 원자 궤도 내 전자의 운동이 변화하여 인가 자기장에 반대되는 자기 모멘트가 유도된다.

2. 란제뱅 반자성

유도란제뱅 반자성 공식

원자 번호 ZZ인 원자에 자기장 B\mathbf{B}가 인가될 때, 각 전자의 운동에 대한 해밀토니안 섭동항은:

ΔH=e2B28me∑i=1Z(xi2+yi2)\Delta H = \frac{e^2 B^2}{8m_e}\sum_{i=1}^{Z}(x_i^2 + y_i^2)

여기서 합은 원자 내 모든 전자에 대한 것이고, B=Bz^\mathbf{B} = B\hat{z}로 놓았다.

1차 섭동 에너지:

ΔE=e2B28me∑i=1Z⟨xi2+yi2⟩\Delta E = \frac{e^2 B^2}{8m_e}\sum_{i=1}^{Z}\langle x_i^2 + y_i^2 \rangle

구대칭 원자에서 ⟨x2+y2⟩=23⟨r2⟩\langle x^2 + y^2 \rangle = \frac{2}{3}\langle r^2 \rangle이므로:

ΔE=e2B212me∑i=1Z⟨ri2⟩\Delta E = \frac{e^2 B^2}{12m_e}\sum_{i=1}^{Z}\langle r_i^2 \rangle

자화 M=−n∂(ΔE)/∂BM = -n\partial(\Delta E)/\partial B (원자 밀도 nn):

M=−ne2B6me∑i=1Z⟨ri2⟩M = -\frac{ne^2 B}{6m_e}\sum_{i=1}^{Z}\langle r_i^2 \rangle

자화율:

χdia=−μ0ne26me∑i=1Z⟨ri2⟩\boxed{\chi_{\text{dia}} = -\frac{\mu_0 n e^2}{6m_e}\sum_{i=1}^{Z}\langle r_i^2 \rangle}

이것이 란제뱅 반자성(Langevin diamagnetism) 또는 라모 반자성(Larmor diamagnetism) 공식이다.

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핵심 특징:

  • χdia<0\chi_{\text{dia}} < 0 (항상 음수)
  • 온도에 무관 (기저상태의 성질)
  • 전자 궤도 반지름 ⟨r2⟩\langle r^2 \rangle에 비례

3. 란다우 반자성

정의6.2란다우 반자성

금속 내 자유전자도 반자성을 나타낸다. 자기장에 의해 전자의 궤도 운동이 양자화되어(란다우 준위) 나타나는 효과를 란다우 반자성(Landau diamagnetism)이라 한다.

자유전자 기체의 란다우 반자성 자화율은 파울리 상자성 자화율의 정확히 −1/3-1/3이다:

χLandau=−13χPauli=−μ0nμB23εF\chi_{\text{Landau}} = -\frac{1}{3}\chi_{\text{Pauli}} = -\frac{\mu_0 n \mu_B^2}{3\varepsilon_F}

따라서 자유전자 기체의 총 자화율은:

χtotal=χPauli+χLandau=23χPauli>0\chi_{\text{total}} = \chi_{\text{Pauli}} + \chi_{\text{Landau}} = \frac{2}{3}\chi_{\text{Pauli}} > 0

자유전자 기체는 전체적으로 상자성이지만, 실제 금속에서는 밴드 구조 효과로 인해 결과가 달라질 수 있다.

4. 반자성 물질의 예

닫힌 껍질(closed shell) 구조를 가진 원자, 이온, 분자는 순수한 반자성체이다:

| 물질 | χ\chi (10−610^{-6}) | 비고 | |------|-----------|------| | He | −1.1-1.1 | 희귀 기체 | | Ne | −4.2-4.2 | 희귀 기체 | | Cu | −1.0-1.0 | 이온 코어의 반자성 | | Bi | −170-170 | 매우 강한 반자성 | | C (다이아몬드) | −5.9-5.9 | 공유 결합 | | H2_2O | −9.0-9.0 | 분자 |

참고비스무트의 강한 반자성

비스무트(Bi)는 일반 금속 중 가장 강한 반자성을 보인다 (χ∼−170×10−6\chi \sim -170 \times 10^{-6}). 이는 Bi의 특이한 밴드 구조(매우 작은 유효 질량과 긴 평균 자유 경로)에 의한 비정상적으로 큰 란다우 반자성 기여 때문이다. 이러한 강한 반자성은 드 하스-반 알펜(de Haas-van Alphen) 효과 관측에 Bi가 최초로 사용된 이유이기도 하다.

5. 초전도체의 완전 반자성

가장 극단적인 반자성 현상은 초전도체에서 나타난다.

정의6.3완전 반자성

초전도체는 χ=−1\chi = -1 (SI 단위, CGS에서 χ=−1/4π\chi = -1/4\pi)인 완전 반자성체(perfect diamagnet)이다. 이는 초전도체 내부에서 자기장이 완전히 차폐됨을 의미한다:

Binside=0\mathbf{B}_{\text{inside}} = \mathbf{0}

이 현상을 마이스너 효과(Meissner effect)라 하며, 단순히 완전 도체(perfect conductor)의 성질과는 구별되는 초전도체의 본질적 특성이다.

6. 반자성의 응용

예제자기 부양과 반자성

반자성은 일상적으로 매우 약하지만, 충분히 강한 자기장 기울기가 있으면 반자성 물질을 공중에 띄울 수 있다. 자기장 구배 ∇B2\nabla B^2 속에서 반자성 물질에 작용하는 힘:

F=χV2μ0∇B2\mathbf{F} = \frac{\chi V}{2\mu_0}\nabla B^2

부양 조건: 자기력 = 중력

∣χ∣2μ0∇B2≥ρg\frac{|\chi|}{2\mu_0}\nabla B^2 \geq \rho g

물의 경우 (χ≈−9×10−6\chi \approx -9 \times 10^{-6}, ρ=1000 kg/m3\rho = 1000\,\text{kg/m}^3):

∇B2≥2μ0ρg∣χ∣=2×4π×10−7×1000×9.89×10−6≈2740 T2/m\nabla B^2 \geq \frac{2\mu_0 \rho g}{|\chi|} = \frac{2 \times 4\pi\times10^{-7} \times 1000 \times 9.8}{9\times10^{-6}} \approx 2740\,\text{T}^2/\text{m}

약 16 T 급 초전도 자석을 사용하면 실현 가능하며, 실제로 물, 개구리, 딸기 등의 반자성 부양이 실험적으로 시연된 바 있다 (2000년 이그노벨상 수상).