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물리학 강의 노트

개념완성

상자성 (Paramagnetism)

1. 상자성의 개념

정의6.1상자성

상자성(paramagnetism)은 외부 자기장 방향으로 물질이 약한 자화를 나타내는 현상이다. 상자성 자화율은:

χpara>0,∣χpara∣∼10−5–10−3\chi_{\text{para}} > 0, \quad |\chi_{\text{para}}| \sim 10^{-5}\text{--}10^{-3}

상자성은 원자/이온이 영구 자기 모멘트를 가질 때 나타난다. 외부 자기장이 없으면 열적 무질서에 의해 자기 모멘트가 무작위 방향을 가리키므로 순자화는 0이다.

영구 자기 모멘트의 원천:

  • 전자의 궤도 각운동량 L\mathbf{L}
  • 전자의 스핀 각운동량 S\mathbf{S}
  • 총 각운동량 J=L+S\mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S}

2. 란제뱅 상자성 (고전 이론)

유도란제뱅 상자성 함수

고전적으로, 자기 모멘트 μ\mu가 자기장 B\mathbf{B}와 각도 θ\theta를 이루는 에너지는:

E=−μBcos⁡θE = -\mu B\cos\theta

볼츠만 통계에 의한 평균 자화:

⟨M⟩=nμ⟨cos⁡θ⟩=nμ⋅∫0πcos⁡θ eμBcos⁡θ/kBTsin⁡θ dθ∫0πeμBcos⁡θ/kBTsin⁡θ dθ\langle M \rangle = n\mu\langle\cos\theta\rangle = n\mu\cdot\frac{\int_0^\pi \cos\theta\,e^{\mu B\cos\theta/k_BT}\sin\theta\,d\theta}{\int_0^\pi e^{\mu B\cos\theta/k_BT}\sin\theta\,d\theta}

x=μB/kBTx = \mu B/k_BT로 놓으면:

M=nμ L(x)M = n\mu\,L(x)

여기서 L(x)=coth⁡x−1/xL(x) = \coth x - 1/x는 란제뱅 함수(Langevin function)이다.

약한 자기장 극한 (x≪1x \ll 1, 즉 μB≪kBT\mu B \ll k_BT):

L(x)≈x3  ⟹  M≈nμ2B3kBTL(x) \approx \frac{x}{3} \implies M \approx \frac{n\mu^2 B}{3k_BT}

자화율:

χ=μ0MB=μ0nμ23kBT=CT\chi = \frac{\mu_0 M}{B} = \frac{\mu_0 n\mu^2}{3k_BT} = \frac{C}{T}

이것이 퀴리 법칙이다. C=μ0nμ2/(3kB)C = \mu_0 n\mu^2/(3k_B)는 퀴리 상수이다.

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3. 양자역학적 상자성 (브릴루앙 함수)

유도브릴루앙 상자성

양자역학에서 총 각운동량 JJ인 원자의 자기 모멘트 zz-성분은 이산 값을 갖는다:

μz=−gJμBmJ,mJ=−J,−J+1,…,J\mu_z = -g_J \mu_B m_J, \quad m_J = -J, -J+1, \dots, J

여기서 gJg_J는 란데 g-인자:

gJ=1+J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)2J(J+1)g_J = 1 + \frac{J(J+1) + S(S+1) - L(L+1)}{2J(J+1)}

통계적 평균을 구하면:

M=ngJμBJ⋅BJ(x)M = ng_J\mu_B J \cdot B_J(x)

x=gJμBJB/(kBT)x = g_J\mu_B JB/(k_BT)이고, BJ(x)B_J(x)는 브릴루앙 함수(Brillouin function):

BJ(x)=2J+12Jcoth⁡(2J+1)x2J−12Jcoth⁡x2JB_J(x) = \frac{2J+1}{2J}\coth\frac{(2J+1)x}{2J} - \frac{1}{2J}\coth\frac{x}{2J}

특수한 경우:

  • J→∞J \to \infty: BJ(x)→L(x)B_J(x) \to L(x) (고전 란제뱅 함수)
  • J=1/2J = 1/2: B1/2(x)=tanh⁡(x)B_{1/2}(x) = \tanh(x)
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약한 자기장 극한에서 BJ(x)≈(J+1)x/(3J)B_J(x) \approx (J+1)x/(3J)이므로:

χ=μ0ngJ2μB2J(J+1)3kBT=μ0np2μB23kBT\chi = \frac{\mu_0 n g_J^2 \mu_B^2 J(J+1)}{3k_BT} = \frac{\mu_0 n p^2 \mu_B^2}{3k_BT}

여기서 p=gJJ(J+1)p = g_J\sqrt{J(J+1)}는 유효 보어 마그네톤 수(effective number of Bohr magnetons)이다.

4. 파울리 상자성

정의6.2파울리 상자성

금속 내 자유전자의 스핀에 의한 상자성을 파울리 상자성(Pauli paramagnetism)이라 한다. 자화율:

χPauli=μ0μB2g(εF)\chi_{\text{Pauli}} = \mu_0 \mu_B^2 g(\varepsilon_F)

자유전자 모형에서:

χPauli=3μ0nμB22εF=3μ0nμB22kBTF\chi_{\text{Pauli}} = \frac{3\mu_0 n \mu_B^2}{2\varepsilon_F} = \frac{3\mu_0 n \mu_B^2}{2k_BT_F}

핵심 특징: 온도에 거의 무관하다. 이는 퀴리 법칙의 1/T1/T 의존성과 대조적이며, 파울리 배타 원리의 직접적 결과이다.

파울리 상자성의 물리적 이해: 자기장 BB가 인가되면, 스핀-업과 스핀-다운 전자의 에너지 밴드가 각각 ∓μBB\mp\mu_B B만큼 이동한다. 그러나 페르미 면 근처의 전자(∼kBT/εF\sim k_BT/\varepsilon_F 분율)만 스핀을 뒤집을 수 있으므로, 자화는 고전 결과보다 T/TFT/T_F 만큼 작다.

5. 반 블렉 상자성

정의6.3반 블렉 상자성

닫힌 껍질을 가진 원자/이온도 2차 섭동에 의해 약한 상자성을 보일 수 있다. 이를 반 블렉 상자성(Van Vleck paramagnetism)이라 한다:

χVV=2μ0n∑n≠0∣⟨0∣μ^z∣n⟩∣2En−E0\chi_{\text{VV}} = 2\mu_0 n \sum_{n \neq 0}\frac{|\langle 0|\hat{\mu}_z|n\rangle|^2}{E_n - E_0}

이 기여는 온도에 무관하며, 닫힌 껍질 원자의 반자성과 부분적으로 상쇄될 수 있다.

6. 상자성 물질의 분류와 응용

| 상자성 유형 | 온도 의존성 | 크기 | 예 | |------------|-----------|------|---| | 퀴리 상자성 | χ∝1/T\chi \propto 1/T | 10−3–10−210^{-3}\text{--}10^{-2} | 희토류 이온 | | 파울리 상자성 | 거의 일정 | 10−510^{-5} | 알칼리 금속 | | 반 블렉 상자성 | 일정 | 10−510^{-5} | Eu3+^{3+} (J=0J=0) |

예제Gd$^{3+}$ 이온의 유효 자기 모멘트

Gd3+^{3+}: 전자 배치 [Xe]4f7[Xe]4f^7. 훈트의 규칙에 의해:

S=7/2,L=0,J=S=7/2S = 7/2, \quad L = 0, \quad J = S = 7/2gJ=1+J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)2J(J+1)=2g_J = 1 + \frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)} = 2

유효 보어 마그네톤 수:

p=gJJ(J+1)=272⋅92=2634=63≈7.94p = g_J\sqrt{J(J+1)} = 2\sqrt{\frac{7}{2}\cdot\frac{9}{2}} = 2\sqrt{\frac{63}{4}} = \sqrt{63} \approx 7.94

실험값: pexp=7.98p_{\text{exp}} = 7.98. 자유 이온 모형이 매우 잘 적용된다. 이는 4f4f 전자가 외부 5s,5p5s, 5p 전자에 의해 차폐되어 결정장 효과가 작기 때문이다.

참고3d 전이 금속의 상자성

3d 전이 금속 이온(Fe3+^{3+}, Co2+^{2+} 등)에서는 결정장(crystal field)에 의해 궤도 각운동량이 소멸(quenching)되는 경우가 많다. 이 경우 유효 모멘트는 p≈2S(S+1)p \approx 2\sqrt{S(S+1)} (스핀만의 기여)로 잘 기술된다. 이는 4f 희토류 이온과의 중요한 차이점이다.