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물리학 강의 노트

개념완성

BCS 이론 (BCS Theory)

1. BCS 이론의 역사적 배경

1957년 바딘(Bardeen), 쿠퍼(Cooper), 슈리퍼(Schrieffer)가 발표한 BCS 이론은 초전도 현상의 미시적 메커니즘을 최초로 성공적으로 설명한 이론이다 (1972년 노벨 물리학상). BCS 이론의 세 핵심 요소는 다음과 같다.

2. 전자-포논 상호작용에 의한 유효 인력

정의7.1전자-포논 매개 인력

금속 내 두 전자 사이에 포논을 매개로 한 유효 인력이 작용할 수 있다. 한 전자가 이온 격자를 변형시키고, 이 변형이 다른 전자를 끌어당기는 메커니즘이다.

이 유효 상호작용의 에너지:

Veff(ω)=∣gq∣2[1ω−ωq−1ω+ωq]=2∣gq∣2ωqω2−ωq2V_{\text{eff}}(\omega) = |g_\mathbf{q}|^2\left[\frac{1}{\omega - \omega_\mathbf{q}} - \frac{1}{\omega + \omega_\mathbf{q}}\right] = \frac{2|g_\mathbf{q}|^2\omega_\mathbf{q}}{\omega^2 - \omega_\mathbf{q}^2}
  • ω<ωq\omega < \omega_\mathbf{q} (포논 진동수 이하): Veff<0V_{\text{eff}} < 0 (인력)
  • ω>ωq\omega > \omega_\mathbf{q}: Veff>0V_{\text{eff}} > 0 (척력)

따라서 에너지 차이가 디바이 에너지 ℏωD\hbar\omega_D 이내인 전자 쌍 사이에 유효 인력이 작용한다.

이 인력의 간접적 증거가 동위원소 효과(isotope effect)이다:

Tc∝M−α,α≈0.5T_c \propto M^{-\alpha}, \quad \alpha \approx 0.5

MM은 이온 질량이며, ωD∝M−1/2\omega_D \propto M^{-1/2}이므로 Tc∝ωDT_c \propto \omega_D이다. 이는 격자 진동(포논)이 초전도에 핵심적임을 보여준다.

3. 쿠퍼 쌍

정의7.2쿠퍼 쌍

쿠퍼 쌍(Cooper pair)은 포논 매개 인력에 의해 결합된 두 전자의 속박 상태이다. 쿠퍼(1956)는 페르미 해 위에서 아무리 약한 인력이라도 두 전자의 속박 상태가 형성됨을 보였다:

(k↑,−k↓)(\mathbf{k}\uparrow, -\mathbf{k}\downarrow)

쿠퍼 쌍의 특성:

  • 운동량이 반대이고 스핀이 반대인 두 전자로 구성
  • 총 운동량 K=0\mathbf{K} = \mathbf{0}, 총 스핀 S=0S = 0 (싱글릿)
  • 결합 에너지: Δ0∼2ℏωD e−1/(N(0)V)\Delta_0 \sim 2\hbar\omega_D\,e^{-1/(N(0)V)}
  • 공간적 크기(결맞음 길이): ξ0∼ℏvF/(πΔ0)∼10–1000 nm\xi_0 \sim \hbar v_F/(\pi\Delta_0) \sim 10\text{--}1000\,\text{nm}

쿠퍼 쌍은 보손이므로, 절대영도에서 모든 쌍이 같은 양자 상태(바닥 상태)를 점유할 수 있다. 이것이 초전도 상태의 보스-아인슈타인 응축과의 유사성이다.

4. BCS 바닥 상태

정의7.3BCS 파동함수

BCS 바닥 상태는 다음과 같이 쓸 수 있다:

∣BCS⟩=∏k(uk+vk ck↑†c−k↓†)∣0⟩|\text{BCS}\rangle = \prod_\mathbf{k}(u_\mathbf{k} + v_\mathbf{k}\,c_{\mathbf{k}\uparrow}^\dagger c_{-\mathbf{k}\downarrow}^\dagger)|0\rangle

여기서:

  • ∣vk∣2|v_\mathbf{k}|^2: (k↑,−k↓)(\mathbf{k}\uparrow, -\mathbf{k}\downarrow) 쌍이 점유될 확률
  • ∣uk∣2=1−∣vk∣2|u_\mathbf{k}|^2 = 1 - |v_\mathbf{k}|^2: 해당 쌍이 비점유될 확률
  • ∣0⟩|0\rangle: 진공 상태
∣vk∣2=12(1−ξkEk),∣uk∣2=12(1+ξkEk)|v_\mathbf{k}|^2 = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{\xi_\mathbf{k}}{E_\mathbf{k}}\right), \quad |u_\mathbf{k}|^2 = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{\xi_\mathbf{k}}{E_\mathbf{k}}\right)

여기서 ξk=εk−εF\xi_\mathbf{k} = \varepsilon_\mathbf{k} - \varepsilon_F이고, Ek=ξk2+Δ2E_\mathbf{k} = \sqrt{\xi_\mathbf{k}^2 + \Delta^2}이다.

5. 에너지 갭

정의7.4초전도 에너지 갭

BCS 이론의 가장 중요한 예측 중 하나는 페르미 면 근처에 에너지 갭 2Δ2\Delta가 열린다는 것이다. 준입자(quasiparticle)의 여기 에너지:

Ek=ξk2+Δ2E_\mathbf{k} = \sqrt{\xi_\mathbf{k}^2 + \Delta^2}

최소 여기 에너지는 ξk=0\xi_\mathbf{k} = 0 (페르미 면)에서 Emin⁡=ΔE_{\min} = \Delta이다. 쿠퍼 쌍을 깨뜨리는 데 필요한 최소 에너지는 2Δ2\Delta이다.

유도BCS 갭 방정식

자기무당착 조건(self-consistency)에서 에너지 갭 Δ\Delta를 결정하는 갭 방정식:

1=V⋅N(0)∫0ℏωDdξξ2+Δ2tanh⁡ξ2+Δ22kBT1 = V \cdot N(0)\int_0^{\hbar\omega_D}\frac{d\xi}{\sqrt{\xi^2+\Delta^2}}\tanh\frac{\sqrt{\xi^2+\Delta^2}}{2k_BT}

T=0T = 0에서:

Δ0=ℏωDsinh⁡[1/(N(0)V)]≈2ℏωD e−1/(N(0)V)\Delta_0 = \frac{\hbar\omega_D}{\sinh[1/(N(0)V)]} \approx 2\hbar\omega_D\,e^{-1/(N(0)V)}

약한 결합 극한 N(0)V≪1N(0)V \ll 1에서의 결과이다.

T=TcT = T_c에서 Δ→0\Delta \to 0:

kBTc=2eγπℏωD e−1/(N(0)V)≈1.134 ℏωD e−1/(N(0)V)k_BT_c = \frac{2e^\gamma}{\pi}\hbar\omega_D\,e^{-1/(N(0)V)} \approx 1.134\,\hbar\omega_D\,e^{-1/(N(0)V)}

여기서 γ≈0.5772\gamma \approx 0.5772는 오일러-마스케로니 상수이다.

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BCS 이론의 보편적 예측:

2Δ0kBTc=2πeγ≈3.528\frac{2\Delta_0}{k_BT_c} = \frac{2\pi}{e^\gamma} \approx 3.528

이 비율은 약한 결합 초전도체에서 매우 잘 성립한다:

| 물질 | TcT_c (K) | 2Δ0/kBTc2\Delta_0/k_BT_c | |------|--------|---------| | Al | 1.18 | 3.53 | | Sn | 3.72 | 3.50 | | Pb | 7.20 | 4.38 | | Nb | 9.25 | 3.80 |

Pb와 Nb는 강한 결합 효과로 인해 약간 큰 값을 보인다.

6. BCS 이론의 주요 예측

참고BCS 이론의 성공과 한계

성공적 예측:

  • 에너지 갭의 존재와 온도 의존성
  • 비열의 지수적 거동: Cs∝e−Δ/(kBT)C_s \propto e^{-\Delta/(k_BT)} (T≪TcT \ll T_c)
  • 동위원소 효과
  • 코히런스 효과(coherence effects)와 NMR 이완율
  • 전자기 반응 (마이스너 효과, 침투 깊이)
  • 2Δ0/kBTc=3.5282\Delta_0/k_BT_c = 3.528 (약한 결합 극한)

한계:

  • 고온 초전도체(cuprate, Tc∼100 KT_c \sim 100\,\text{K}): 전자-포논 메커니즘만으로 설명 곤란. 자기적 요동, 스핀 요동 등 비통상적 쌍형성 메커니즘이 논의 중.
  • 강한 결합 초전도체: 엘리아슈베르크(Eliashberg) 이론으로 확장 필요.
  • 비정상 초전도체: dd-파 쌍형성(cuprate), pp-파 쌍형성(Sr2_2RuO4_4) 등 BCS의 ss-파 가정을 넘어선 대칭성.
예제알루미늄의 BCS 에너지 갭

알루미늄: Tc=1.18 KT_c = 1.18\,\text{K}, ΘD=428 K\Theta_D = 428\,\text{K}.

Δ0=3.5282kBTc=1.764×1.381×10−23×1.18=2.874×10−23 J\Delta_0 = \frac{3.528}{2}k_BT_c = 1.764 \times 1.381\times10^{-23} \times 1.18 = 2.874\times10^{-23}\,\text{J}Δ0=1.794×10−4 eV≈0.18 meV\Delta_0 = 1.794\times10^{-4}\,\text{eV} \approx 0.18\,\text{meV}

이 갭은 적외선 분광이나 터널링 실험으로 직접 측정할 수 있다. 초전도체-절연체-상전도체(SIS) 터널링 접합에서, 바이어스 전압 V=2Δ/eV = 2\Delta/e에서 전류가 급격히 증가한다.

결합 강도 매개변수:

N(0)V=1ln⁡(ℏωD/Δ0)=1ln⁡(428×1.381×10−23/(1.055×10−34×2.874×10−23/Δ0))N(0)V = \frac{1}{\ln(\hbar\omega_D/\Delta_0)} = \frac{1}{\ln(428 \times 1.381\times10^{-23}/(1.055\times10^{-34} \times 2.874\times10^{-23}/\Delta_0))}

간단히 N(0)V≈0.18N(0)V \approx 0.18로, 약한 결합 조건 N(0)V≪1N(0)V \ll 1이 잘 만족된다.