쿠퍼 쌍 (Cooper Pair)

1. 쿠퍼 문제

정의7.1쿠퍼 문제

쿠퍼 문제(Cooper problem, 1956)는 다음 상황을 고려한다: 절대영도의 페르미 해(Fermi sea) 위에 두 전자가 놓여 있고, 이 두 전자 사이에만 약한 인력 $V < 0$ 이 작용한다. 페르미 해의 전자들은 파울리 배타 원리에 의해 불활성이다.

쿠퍼의 핵심 결과: 아무리 약한 인력이라도, 페르미 면의 존재 하에서 두 전자는 항상 속박 상태를 형성한다. 이 속박 상태가 쿠퍼 쌍(Cooper pair)이다.

이 결과는 진공 중 두 입자의 속박 문제와 근본적으로 다르다. 3차원 진공에서 약한 인력 퍼텐셜은 속박 상태를 만들지 못할 수 있다(임계 결합 강도가 필요). 그러나 채워진 페르미 해가 상태 공간을 효과적으로 2차원으로 축소시켜, 무한소 인력으로도 속박 상태가 가능해진다.

2. 쿠퍼 쌍의 파동함수

유도쿠퍼 쌍의 결합 에너지

총 운동량 $\mathbf{K} = \mathbf{0}$ 인 쿠퍼 쌍의 파동함수:

\psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) = \sum_{|\mathbf{k}| > k_F} g(\mathbf{k})\,e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}_1}e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}_2}|\uparrow\downarrow\rangle

여기서 합은 페르미 해 위의 상태에만 걸친다 (파울리 배타 원리).

슈뢰딩거 방정식을 적용하면:

(2\varepsilon_\mathbf{k} - E)g(\mathbf{k}) + \sum_{\mathbf{k}'} V_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}g(\mathbf{k}') = 0

BCS 근사: $V_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} = -V$ ( $|\xi_\mathbf{k}|, |\xi_{\mathbf{k}'}| < \hbar\omega_D$ ), 그 외 0.

\frac{1}{V} = \sum_\mathbf{k}\frac{1}{2\varepsilon_\mathbf{k} - E}

합을 적분으로 바꾸고 ( $E = 2\varepsilon_F - \Delta_{\text{pair}}$ , $\Delta_{\text{pair}} > 0$ 은 결합 에너지):

\frac{1}{N(0)V} = \int_0^{\hbar\omega_D}\frac{d\xi}{2\xi + \Delta_{\text{pair}}}= \frac{1}{2}\ln\frac{2\hbar\omega_D + \Delta_{\text{pair}}}{\Delta_{\text{pair}}}

$\Delta_{\text{pair}} \ll \hbar\omega_D$ 인 약한 결합 극한에서:

\boxed{\Delta_{\text{pair}} \approx 2\hbar\omega_D\,e^{-2/(N(0)V)}}

이 결합 에너지는 결합 상수 $V$ 에 대해 비해석적(non-analytic)이다 -- $V$ 의 어떤 거듭제곱 전개로도 표현할 수 없다. 이것이 초전도가 섭동론으로 발견될 수 없었던 이유이다.

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3. 쿠퍼 쌍의 물리적 성질

정의7.2쿠퍼 쌍의 특성

쿠퍼 쌍의 주요 물리적 성질:

| 성질 | 값 | 설명 | |------|---|------| | 총 전하 | $q = 2e$ | 보손처럼 행동 | | 총 스핀 | $S = 0$ (싱글릿) | $|\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\rangle$ | | 총 운동량 | $\mathbf{K} = \mathbf{0}$ | 시간역전 쌍 | | 궤도 대칭 | $s$ -파 ( $l = 0$ ) | 통상적 초전도체 | | 결합 에너지 | $\sim 1\,\text{meV}$ | $\sim k_BT_c$ | | 공간적 크기 | $\xi_0 \sim 10\text{--}1000\,\text{nm}$ | 결맞음 길이 |

결맞음 길이의 추정:

\xi_0 = \frac{\hbar v_F}{\pi\Delta_0}

알루미늄의 경우: $v_F \approx 2.0 \times 10^6\,\text{m/s}$ , $\Delta_0 \approx 0.18\,\text{meV}$ :

\xi_0 = \frac{1.055\times10^{-34} \times 2.0\times10^6}{\pi \times 0.18 \times 1.602\times10^{-22}} \approx 2300\,\text{nm} \approx 2.3\,\mu\text{m}

이 거대한 크기( $\sim 10^4$ 격자 상수) 안에 $\sim 10^6$ 개의 다른 쿠퍼 쌍의 중심이 포함된다. 쿠퍼 쌍들은 극도로 겹쳐 있다.

4. 왜 총 운동량이 0인가

참고시간역전 대칭과 쿠퍼 쌍

$\mathbf{K} = \mathbf{0}$ 인 쌍이 에너지적으로 가장 유리한 이유는 페르미 면의 형태 때문이다. $\mathbf{K} = \mathbf{0}$ 이면 쌍을 이루는 두 전자는 $(\mathbf{k}, -\mathbf{k})$ 에 있으며, 이 두 상태는 시간역전 대칭에 의해 정확히 같은 에너지를 갖는다:

\varepsilon(\mathbf{k}) = \varepsilon(-\mathbf{k})

따라서 페르미 면 위 얇은 껍질 내에서 쌍을 이룰 수 있는 상태의 밀도가 최대가 된다. $\mathbf{K} \neq \mathbf{0}$ 이면 쌍을 이룰 수 있는 위상 공간이 줄어들어 결합 에너지가 감소한다.

유한한 $\mathbf{K}$ 를 가진 쿠퍼 쌍은 초전류(supercurrent)를 운반한다. 그러나 위상 공간 감소에 의해 갭이 줄어들고, 임계 전류( $\mathbf{K}$ 의 최대값)를 초과하면 초전도가 파괴된다.

5. 쿠퍼 쌍의 실험적 증거

자속 양자화 실험은 쿠퍼 쌍의 가장 직접적인 증거이다.

예제자속 양자화와 전하 2e

초전도 고리의 자속 양자:

\Phi_0 = \frac{h}{q^*}

만약 전류 운반자의 전하가 $q^* = e$ 이면 $\Phi_0 = h/e = 4.14 \times 10^{-15}\,\text{Wb}$ .

실험적으로 측정된 값: $\Phi_0 = 2.07 \times 10^{-15}\,\text{Wb} = h/(2e)$ .

이는 $q^* = 2e$ , 즉 초전도 전류 운반자가 전하 $2e$ 인 쿠퍼 쌍임을 확인해준다.

Deaver-Fairbank(1961)과 Doll-Nabauer(1961)의 독립적인 실험에서 동시에 확인되었다.

6. 비통상적 쿠퍼 쌍

정의7.3비통상적 쌍형성

통상적 BCS 초전도체에서 쿠퍼 쌍은 $s$ -파 대칭( $l = 0$ )과 스핀 싱글릿( $S = 0$ )을 갖는다. 그러나 일부 물질에서는 다른 대칭의 쿠퍼 쌍이 형성된다:

$d$ -파 쌍형성 ( $l = 2$ , 싱글릿): 고온 초전도체 (cuprate). 갭 함수 $\Delta(\mathbf{k}) \propto \cos k_x a - \cos k_y a$ 으로, 특정 방향에서 갭이 0이 되는 노드(node)가 존재.
$p$ -파 쌍형성 ( $l = 1$ , 트리플릿): $^3$ He 초유동, Sr $_2$ RuO $_4$ (?). $S = 1$ 이므로 자기적 성질 가능.
$s_\pm$ -파: 철계 초전도체. 서로 다른 페르미 면에서 갭의 부호가 반대.

비통상적 쌍형성에서는 포논 대신 자기 요동(spin fluctuation)이나 다른 보손 매개체가 역할할 수 있다.

참고쿠퍼 쌍의 보편성

쿠퍼 쌍 형성은 초전도체에만 국한되지 않는 보편적 현상이다:

핵물질: 양성자-양성자, 중성자-중성자 쌍형성 (핵 초유동)
$^3$ He: 페르미 원자 쌍형성 (초유동 $^3$ He)
냉각 원자 기체: 페르미 원자의 BCS-BEC 교차(crossover)
중성자별 내부: 중성자 초유동, 양성자 초전도

쿠퍼의 불안정성 정리가 보여주는 것은, 페르미 면이 존재하는 계에서 아무리 약한 인력이라도 기본 상태를 불안정하게 만든다는 것이다. 이는 페르미 액체의 근본적 불안정성에 대한 심오한 통찰이다.