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물리학 강의 노트

법칙완성

런던 방정식 (London Equations)

1. 런던 방정식의 도입

1935년 프리츠 런던(Fritz London)과 하인츠 런던(Heinz London) 형제는 마이스너 효과를 현상론적으로 기술하는 방정식을 제시하였다. 이 방정식은 초전도체의 전자기적 반응을 기술하는 가장 기본적인 방정식이다.

2. 제1 런던 방정식

법칙7.1제1 런던 방정식

초전도 전류 밀도 Js\mathbf{J}_s와 전기장 E\mathbf{E}의 관계:

∂Js∂t=nse2mE\frac{\partial \mathbf{J}_s}{\partial t} = \frac{n_s e^2}{m}\mathbf{E}

또는:

E=∂∂t(ΛJs),Λ=mnse2\boxed{\mathbf{E} = \frac{\partial}{\partial t}\left(\Lambda\mathbf{J}_s\right), \quad \Lambda = \frac{m}{n_s e^2}}

이는 초전도 전자가 산란 없이 전기장에 의해 가속됨을 나타낸다. 옴의 법칙 E=ρJ\mathbf{E} = \rho\mathbf{J}에서 ρ=0\rho = 0인 경우에 해당하며, 정상 상태(∂/∂t=0\partial/\partial t = 0)에서 E=0\mathbf{E} = \mathbf{0}이지만 Js≠0\mathbf{J}_s \neq \mathbf{0}일 수 있다.

유도제1 런던 방정식의 유도

초전도 전자를 질량 mm, 전하 −e-e, 밀도 nsn_s인 자유전자로 취급한다. 운동 방정식:

mdvsdt=−eEm\frac{d\mathbf{v}_s}{dt} = -e\mathbf{E}

여기서 산란항(마찰력)이 없다 (ρ=0\rho = 0). 전류 밀도 Js=−nsevs\mathbf{J}_s = -n_s e\mathbf{v}_s를 대입하면:

∂∂t(mnse2Js)=E\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{m}{n_s e^2}\mathbf{J}_s\right) = \mathbf{E}

이것이 제1 런던 방정식이다. 물리적으로 이는 초전도 전자가 관성만으로 가속되며, 저항성 산란이 없음을 나타낸다.

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3. 제2 런던 방정식

법칙7.2제2 런던 방정식

초전도 전류 밀도와 자기장의 관계:

∇×Js=−nse2mB=−1μ0λL2B\boxed{\nabla \times \mathbf{J}_s = -\frac{n_s e^2}{m}\mathbf{B} = -\frac{1}{\mu_0\lambda_L^2}\mathbf{B}}

여기서 런던 침투 깊이:

λL=mμ0nse2\lambda_L = \sqrt{\frac{m}{\mu_0 n_s e^2}}

이 방정식은 단순히 제1 방정식의 시간 미분을 취한 것이 아니라, 추가적인 물리적 가정(마이스너 효과)을 포함한다.

제2 런던 방정식의 핵심: 이 방정식은 옴의 법칙에 ρ=0\rho = 0을 넣은 것과 동치가 아니다. 완전 도체의 경우 ∂B/∂t=0\partial\mathbf{B}/\partial t = 0 (자속 동결)만 얻어지지만, 제2 런던 방정식은 B=0\mathbf{B} = \mathbf{0} (자속 배제)을 예측한다. 이 차이가 마이스너 효과의 본질이다.

4. 마이스너 효과의 유도

유도런던 방정식에서 마이스너 효과의 유도

제2 런던 방정식과 맥스웰 방정식을 결합한다. 정자기(magnetostatic) 조건에서 앙페르 법칙:

∇×B=μ0Js\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}_s

양변에 ∇×\nabla \times를 취하면:

∇×(∇×B)=μ0∇×Js\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B}) = \mu_0 \nabla \times \mathbf{J}_s

좌변: ∇(∇⋅B)−∇2B=−∇2B\nabla(\nabla\cdot\mathbf{B}) - \nabla^2\mathbf{B} = -\nabla^2\mathbf{B} (∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf{B} = 0)

우변: 제2 런던 방정식 ∇×Js=−B/(μ0λL2)\nabla \times \mathbf{J}_s = -\mathbf{B}/(\mu_0\lambda_L^2) 대입:

∇2B=1λL2B\nabla^2\mathbf{B} = \frac{1}{\lambda_L^2}\mathbf{B}

이것이 런던 방정식의 핵심 결과이다.

1차원 문제(반무한 초전도체, x>0x > 0)에서:

d2Bdx2=BλL2\frac{d^2B}{dx^2} = \frac{B}{\lambda_L^2}

경계 조건 B(0)=B0B(0) = B_0, B(∞)=0B(\infty) = 0에서:

B(x)=B0 e−x/λL\boxed{B(x) = B_0\,e^{-x/\lambda_L}}

자기장이 표면에서 λL\lambda_L의 특성 거리에 걸쳐 지수적으로 감쇠한다. 이것이 마이스너 효과의 수학적 표현이다.

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마찬가지로, 초전도 전류도 표면에서 λL\lambda_L 깊이까지만 흐른다:

Js(x)=Js0 e−x/λLJ_s(x) = J_{s0}\,e^{-x/\lambda_L}

이 표면 전류(차폐 전류)가 외부 자기장을 상쇄하여 벌크 내부를 B=0B = 0으로 유지한다.

5. 런던 침투 깊이의 물리

정의7.1런던 침투 깊이의 온도 의존성

초전도 전자 밀도 nsn_s는 온도에 따라 변하며, T→TcT \to T_c에서 ns→0n_s \to 0이다. 이중 유체 모형(two-fluid model)에서:

ns(T)≈n[1−(TTc)4]n_s(T) \approx n\left[1 - \left(\frac{T}{T_c}\right)^4\right]

따라서 침투 깊이:

λL(T)=λL(0)1−(T/Tc)4\lambda_L(T) = \frac{\lambda_L(0)}{\sqrt{1-(T/T_c)^4}}

T→TcT \to T_c에서 λL→∞\lambda_L \to \infty: 자기장이 완전히 침투하여 초전도가 파괴된다.

주요 초전도체의 런던 침투 깊이:

| 물질 | λL(0)\lambda_L(0) (nm) | TcT_c (K) | |------|-----------|-------| | Al | 16 | 1.18 | | Sn | 34 | 3.72 | | Pb | 37 | 7.20 | | Nb | 39 | 9.25 | | YBa2_2Cu3_3O7_7 | 150 | 92 |

6. 런던 방정식의 게이지 불변 형태

유도런던 방정식의 양자역학적 기초

보다 근본적으로, 런던 방정식은 초전도체의 거시적 파동함수 Ψ=ns eiϕ\Psi = \sqrt{n_s}\,e^{i\phi}로부터 유도할 수 있다.

양자역학적 전류 밀도:

Js=nsem(ℏ∇ϕ−eA)\mathbf{J}_s = \frac{n_s e}{m}\left(\hbar\nabla\phi - e\mathbf{A}\right)

여기서 A\mathbf{A}는 벡터 퍼텐셜이다. 런던 게이지(London gauge) ∇ϕ=0\nabla\phi = 0에서:

Js=−nse2mA\mathbf{J}_s = -\frac{n_s e^2}{m}\mathbf{A}

이를 회전(curl)하면 제2 런던 방정식이 얻어진다:

∇×Js=−nse2m∇×A=−nse2mB\nabla \times \mathbf{J}_s = -\frac{n_s e^2}{m}\nabla \times \mathbf{A} = -\frac{n_s e^2}{m}\mathbf{B}

게이지 불변 형태에서 런던 방정식은 벡터 퍼텐셜에 대한 관계:

Js=−1μ0λL2(A−ℏe∇ϕ)\mathbf{J}_s = -\frac{1}{\mu_0\lambda_L^2}\left(\mathbf{A} - \frac{\hbar}{e}\nabla\phi\right)

이 형태는 자속 양자화와 조셉슨 효과를 자연스럽게 유도한다.

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예제초전도 구의 자기 모멘트

반지름 R≫λLR \gg \lambda_L인 초전도 구에 균일한 자기장 B0\mathbf{B}_0를 인가한 경우, 완전 반자성 조건에서 구의 자기 모멘트는:

m=−2πR3μ0B0\mathbf{m} = -\frac{2\pi R^3}{\mu_0}\mathbf{B}_0

이는 완전 반자성체(χ=−1\chi = -1, SI)의 결과와 일치한다. 반자기장 인자 N=1/3N = 1/3 (구)을 고려하면 실효 자화율:

χeff=χ1+Nχ=−11−1/3=−32\chi_{\text{eff}} = \frac{\chi}{1 + N\chi} = \frac{-1}{1 - 1/3} = -\frac{3}{2}

이 결과는 초전도 구의 자기장 차폐 전류에 의한 쌍극자 자기장이 외부 자기장을 구 내부에서 완벽히 상쇄함을 의미한다.

참고런던 방정식을 넘어서: 긴즈부르크-란다우 이론

런던 방정식은 nsn_s가 공간적으로 일정하다고 가정한다. 이 가정이 깨지는 상황(초전도-상전도 경계면, 자기 소용돌이 등)을 기술하기 위해 긴즈부르크와 란다우(1950)는 질서 매개변수(order parameter) Ψ(r)\Psi(\mathbf{r})를 도입한 현상론을 발전시켰다:

Fs=Fn+α∣Ψ∣2+β2∣Ψ∣4+12m∗∣(−iℏ∇−e∗A)Ψ∣2+B22μ0F_s = F_n + \alpha|\Psi|^2 + \frac{\beta}{2}|\Psi|^4 + \frac{1}{2m^*}\left|(-i\hbar\nabla - e^*\mathbf{A})\Psi\right|^2 + \frac{B^2}{2\mu_0}

이 이론은 제1종/제2종 초전도체의 구분, 아브리코소프 소용돌이 격자, 임계 자기장 등을 성공적으로 기술한다. BCS 이론(1957) 이후, 고리코프(Gorkov, 1959)는 GL 이론이 BCS 이론의 T→TcT \to T_c 극한에서의 유효 이론임을 증명하였다.