표준 배치에서 관성 기준틀 $S$의 좌표 $(t, x, y, z)$와 $S'$의 좌표 $(t', x', y', z')$ 사이의 **로렌츠 변환(Lorentz transformation)**은:

$\boxed{x' = \gamma(x - vt), \quad y' = y, \quad z' = z, \quad t' = \gamma\!\left(t - \frac{vx}{c^2}\right)}$

여기서 로렌츠 인자(Lorentz factor) $\gamma$는:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}, \qquad \beta = \frac{v}{c}$

역변환은 $v \to -v$로 대체하면 됩니다:

$x = \gamma(x' + vt'), \quad t = \gamma\!\left(t' + \frac{vx'}{c^2}\right)$

로렌츠 인자 $\gamma(\beta)$의 주요 성질:

• $\gamma \geq 1$ (등호는 $v = 0$일 때)
• $v \ll c$이면 $\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2 + \cdots$ (뉴턴 극한)
• $v \to c$이면 $\gamma \to \infty$
• $\gamma(\beta) = \gamma(-\beta)$ (짝수 함수)

| $\beta = v/c$ | $\gamma$ | |:-:|:-:| | 0 | 1 | | 0.1 | 1.005 | | 0.5 | 1.155 | | 0.9 | 2.294 | | 0.99 | 7.089 | | 0.999 | 22.37 |

래피디티(rapidity) $\phi$를 다음과 같이 정의합니다:

$\tanh\phi = \beta = \frac{v}{c}$

그러면 $\gamma = \cosh\phi$, $\gamma\beta = \sinh\phi$이므로 로렌츠 부스트는:

$\begin{pmatrix} ct' \\ x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh\phi & -\sinh\phi \\ -\sinh\phi & \cosh\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \end{pmatrix}$

이 형태는 유클리드 회전 $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$의 쌍곡선(hyperbolic) 버전입니다.

래피디티의 장점: 같은 방향의 연속 부스트에서 래피디티는 단순히 더해집니다:

$\phi_{\text{total}} = \phi_1 + \phi_2$