시공간의 균일성은 자유 입자가 한 기준틀에서 등속 직선운동을 하면 다른 기준틀에서도 등속 직선운동을 해야 함을 요구합니다. 이를 만족하는 가장 일반적인 변환은 선형 변환입니다:

$x' = Ax + Bt, \quad t' = Cx + Dt$

여기서 $A, B, C, D$는 $v$의 함수입니다. ($y' = y$, $z' = z$는 대칭성에 의해 자명합니다.)

Step 1. $S'$의 원점 조건

$S'$의 원점($x' = 0$)은 $S$에서 $x = vt$에 위치합니다:

$0 = Avt + Bt \implies B = -Av$

따라서:

$x' = A(x - vt)$

Step 2. 역변환의 대칭성

상대성 원리에 의해, $S$에서 본 $S' \to S$ 변환은 $v \to -v$만 바꾼 것입니다:

$x = A(x' + vt')$

여기서 같은 계수 $A$를 사용합니다(등방성에 의해 $A$는 $v^2$에만 의존).

Step 3. 광속 불변 적용

$t = 0$에서 원점으로부터 발사된 빛은 두 기준틀에서 모두 $x = ct$, $x' = ct'$을 만족해야 합니다.

$x' = A(x - vt)$에 $x = ct$를 대입:

$ct' = A(ct - vt) = At(c - v) \quad \cdots (1)$

$x = A(x' + vt')$에 $x' = ct'$를 대입:

$ct = A(ct' + vt') = At'(c + v) \quad \cdots (2)$

식 $(1) \times (2)$:

$c^2 t t' = A^2 t t'(c - v)(c + v) = A^2 t t'(c^2 - v^2)$

$c^2 = A^2(c^2 - v^2)$

$A = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma$

Step 4. 시간 변환 결정

$x' = \gamma(x - vt)$를 $x = \gamma(x' + vt')$에 대입하여 $t'$를 구합니다:

$x = \gamma[\gamma(x - vt) + vt']$

$x = \gamma^2 x - \gamma^2 vt + \gamma vt'$

$\gamma vt' = x(1 - \gamma^2) + \gamma^2 vt$

$1 - \gamma^2 = 1 - \frac{1}{1-\beta^2} = \frac{-\beta^2}{1-\beta^2} = -\gamma^2\beta^2$를 이용하면:

$\gamma vt' = -\gamma^2 \beta^2 x + \gamma^2 vt$

$t' = \gamma\!\left(t - \frac{\beta^2 x}{v}\right) \cdot \frac{v}{\gamma v \cdot 1}$

정리하면 ($\beta^2/v = v/c^2$):

$\boxed{t' = \gamma\!\left(t - \frac{vx}{c^2}\right)}$

최종 결과:

$\boxed{x' = \gamma(x - vt), \quad y' = y, \quad z' = z, \quad t' = \gamma\!\left(t - \frac{vx}{c^2}\right)}$

로렌츠 변환이 시공간 간격(spacetime interval) $s^2 = c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2$을 보존함을 직접 확인합니다:

$c^2t'^2 - x'^2 = \gamma^2\!\left(ct - \frac{vx}{c}\right)^2 - \gamma^2(x - vt)^2$

$= \gamma^2\!\left[c^2t^2 - 2vxt + \frac{v^2x^2}{c^2} - x^2 + 2vxt - v^2t^2\right]$

$= \gamma^2\!\left[c^2t^2\!\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) - x^2\!\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)\right]$

$= \gamma^2(1 - \beta^2)(c^2t^2 - x^2) = c^2t^2 - x^2$

$\gamma^2(1 - \beta^2) = 1$이므로:

$\boxed{c^2t'^2 - x'^2 - y'^2 - z'^2 = c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2}$

시공간 간격은 로렌츠 불변량입니다.