속도 합성 (Relativistic Velocity Addition)

갈릴레이 속도 합성의 실패

고전역학에서 기준틀 $S$ 에 대해 속도 $v$ 로 운동하는 $S'$ 에서 물체가 속도 $u'$ 로 움직이면, $S$ 에서의 속도는 단순히 $u = u' + v$ 입니다. 그러나 이 공식은 $u' = c$ 일 때 $u = c + v > c$ 를 주므로 광속 불변의 원리에 위배됩니다.

상대론적 속도 합성

정의2.11차원 상대론적 속도 합성

기준틀 $S'$ 가 $S$ 에 대해 $x$ 방향으로 속도 $v$ 로 운동할 때, $S'$ 에서 $x'$ 방향으로 속도 $u'_x$ 로 움직이는 물체의 $S$ 에서의 속도는:

$\boxed{u_x = \frac{u'_x + v}{1 + \dfrac{u'_x v}{c^2}}}$

이를 **아인슈타인 속도 합성(Einstein velocity addition)**이라 합니다.

유도속도 합성 공식 유도

로렌츠 역변환의 미분:

$dx = \gamma(dx' + v\,dt'), \quad dt = \gamma\!\left(dt' + \frac{v\,dx'}{c^2}\right)$

$u_x = dx/dt$ 를 구하면:

$u_x = \frac{dx}{dt} = \frac{dx' + v\,dt'}{dt' + v\,dx'/c^2} = \frac{u'_x + v}{1 + u'_x v/c^2}$

여기서 $u'_x = dx'/dt'$ 를 사용했습니다.

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3차원 속도 합성

정의2.23차원 속도 합성

$S'$ 가 $x$ 방향으로 속도 $v$ 로 운동할 때, $S'$ 에서 속도 $\mathbf{u}' = (u'_x, u'_y, u'_z)$ 인 물체의 $S$ 에서의 속도:

$u_x = \frac{u'_x + v}{1 + u'_x v/c^2}$

$u_y = \frac{u'_y}{\gamma(1 + u'_x v/c^2)}, \quad u_z = \frac{u'_z}{\gamma(1 + u'_x v/c^2)}$

수직 방향의 속도에도 $\gamma$ 인자가 나타납니다 — 이는 시간 변환 $dt = \gamma(dt' + v\,dx'/c^2)$ 때문입니다.

광속의 불변성 확인

예제광속 불변의 검증

$S'$ 에서 빛이 $x'$ 방향으로 $u'_x = c$ 로 전파합니다. $S$ 에서의 속도는:

$u_x = \frac{c + v}{1 + cv/c^2} = \frac{c + v}{1 + v/c} = \frac{c(1 + v/c)}{1 + v/c} = c$

어떤 $v$ 에 대해서도 결과는 항상 $c$ 입니다! 갈릴레이 공식이었다면 $c + v$ 가 되어 모순이었을 것입니다.

래피디티와 속도 합성

참고래피디티의 덧셈 성질

래피디티 $\phi$ 를 $\tanh\phi = v/c$ 로 정의하면, 속도 합성 공식은 놀랍도록 단순해집니다.

$\tanh\phi_u = u/c$ , $\tanh\phi_{u'} = u'/c$ , $\tanh\phi_v = v/c$ 로 놓으면:

$\tanh\phi_u = \frac{\tanh\phi_{u'} + \tanh\phi_v}{1 + \tanh\phi_{u'}\tanh\phi_v} = \tanh(\phi_{u'} + \phi_v)$

따라서:

$\phi_u = \phi_{u'} + \phi_v$

래피디티는 단순히 더해집니다! 이는 유클리드 기하학에서 회전각이 더해지는 것의 쌍곡선 버전입니다.

초광속 불가능성

예제아무리 합성해도 $c$를 넘을 수 없다

두 로켓이 지구에 대해 각각 $v_1 = 0.9c$ , $v_2 = 0.9c$ 로 같은 방향으로 운동합니다.

갈릴레이: $u = 0.9c + 0.9c = 1.8c$ (초광속!)

아인슈타인: $u = \frac{0.9c + 0.9c}{1 + (0.9)(0.9)} = \frac{1.8c}{1.81} \approx 0.9945c$

$c$ 미만의 속도를 아무리 합성해도 결과는 항상 $c$ 미만입니다. 이는 수학적으로 증명 가능합니다:

$|u'| < c$ 이고 $|v| < c$ 이면, 속도 합성 공식에서:

$|u| = \left|\frac{u' + v}{1 + u'v/c^2}\right| < c$

등호는 $|u'| = c$ 또는 $|v| = c$ 일 때만 성립합니다.

상대 속도

정의2.3상대론적 상대 속도

$S$ 에서 입자 A가 속도 $v_A$ 로, 입자 B가 속도 $v_B$ 로 같은 방향으로 운동할 때, B의 기준틀에서 본 A의 속도(상대 속도)는:

$v_{\text{rel}} = \frac{v_A - v_B}{1 - \dfrac{v_A v_B}{c^2}}$

이것은 속도 합성의 역 과정입니다.

예제입자 충돌 실험에서의 상대 속도

양성자 빔이 $v_1 = 0.99c$ 와 $v_2 = -0.99c$ 로 정면 충돌합니다. 한쪽 양성자 기준틀에서 본 상대방의 속도:

$v_{\text{rel}} = \frac{0.99c - (-0.99c)}{1 - (0.99)(-0.99)} = \frac{1.98c}{1 + 0.9801} = \frac{1.98c}{1.9801} \approx 0.99995c$

갈릴레이 값인 $1.98c$ 가 아니라 $c$ 에 매우 가까운 값입니다.