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물리학 강의 노트

개념완성

상대론적 도플러 효과 (Relativistic Doppler Effect)

종방향 도플러 효과

정의2.7종방향 상대론적 도플러 효과

광원이 관찰자에 대해 시선 방향(line of sight)으로 속도 vv로 운동할 때, 관찰된 진동수 fobsf_{\text{obs}}와 광원의 고유 진동수 f0f_0 사이의 관계:

광원이 멀어지는 경우 (적색편이, redshift):

fobs=f01−β1+β,β=vc\boxed{f_{\text{obs}} = f_0\sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}, \quad \beta = \frac{v}{c}}

광원이 다가오는 경우 (청색편이, blueshift):

fobs=f01+β1−βf_{\text{obs}} = f_0\sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}

파장으로 쓰면: λobs=λ01+β1−β\lambda_{\text{obs}} = \lambda_0\sqrt{\dfrac{1 + \beta}{1 - \beta}} (멀어지는 경우).

유도종방향 도플러 효과 유도

광원이 SS에서 xx 양의 방향으로 속도 vv로 멀어지며, 주기 T0=1/f0T_0 = 1/f_0 (고유 주기)로 빛을 방출합니다.

Step 1. 시간 지연에 의해, SS에서 광원의 방출 주기는:

Temit=γT0T_{\text{emit}} = \gamma T_0

Step 2. TemitT_{\text{emit}} 동안 광원은 d=vTemitd = vT_{\text{emit}}만큼 멀어지므로, 연속 파면 사이의 추가 경로차가 있습니다:

Tobs=Temit+dc=Temit ⁣(1+vc)=γT0(1+β)T_{\text{obs}} = T_{\text{emit}} + \frac{d}{c} = T_{\text{emit}}\!\left(1 + \frac{v}{c}\right) = \gamma T_0(1 + \beta)

Step 3. γ(1+β)=1+β1−β2=1+β(1−β)(1+β)=1+β1−β\gamma(1 + \beta) = \dfrac{1 + \beta}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \dfrac{1 + \beta}{\sqrt{(1-\beta)(1+\beta)}} = \sqrt{\dfrac{1 + \beta}{1 - \beta}}이므로:

Tobs=T01+β1−βT_{\text{obs}} = T_0\sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}

fobs=f01−β1+β\boxed{f_{\text{obs}} = f_0\sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}}

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횡방향 도플러 효과

정의2.8횡방향 도플러 효과

광원이 관찰자에 대해 시선에 수직(횡방향)으로 운동할 때:

fobs=f0γ\boxed{f_{\text{obs}} = \frac{f_0}{\gamma}}

이것은 순수한 시간 지연 효과입니다. 고전적 도플러 효과에는 횡방향 성분이 없으므로, 이는 순수하게 상대론적인 현상입니다.

참고횡방향 도플러의 실험적 검증

횡방향 도플러 효과는 아이브스-스틸웰 실험(Ives–Stilwell, 1938)에서 처음 검증되었습니다. 수소 양이온 빔에서 방출된 빛의 진동수를 전방과 후방에서 동시에 측정하여, 평균 진동수가 정지 진동수와 다름을 확인했습니다.

fforward+fbackward2=γf0≠f0\frac{f_{\text{forward}} + f_{\text{backward}}}{2} = \gamma f_0 \neq f_0

이 "2차 도플러 효과"는 시간 지연의 직접적 증거입니다.

일반 각도에서의 도플러 효과

정의2.9일반 각도 도플러 효과

광원이 관찰자에 대해 속도 vv로 운동하고, 관찰자 기준틀에서 시선 방향과 운동 방향이 이루는 각이 θ\theta일 때:

fobs=f0γ(1+βcos⁡θ)f_{\text{obs}} = \frac{f_0}{\gamma(1 + \beta\cos\theta)}

특수한 경우:

  • θ=0\theta = 0 (멀어짐): fobs=f0(1−β)/(1+β)f_{\text{obs}} = f_0\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)} (적색편이)
  • θ=π\theta = \pi (다가옴): fobs=f0(1+β)/(1−β)f_{\text{obs}} = f_0\sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)} (청색편이)
  • θ=π/2\theta = \pi/2 (횡방향): fobs=f0/γf_{\text{obs}} = f_0/\gamma (횡방향 도플러)

상대론적 적색편이 매개변수

정의2.10적색편이 매개변수

천체물리학에서 적색편이(redshift) 매개변수 zz:

1+z=λobsλ0=f0fobs1 + z = \frac{\lambda_{\text{obs}}}{\lambda_0} = \frac{f_0}{f_{\text{obs}}}

종방향 도플러의 경우:

1+z=1+β1−β1 + z = \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}

역으로: β=(1+z)2−1(1+z)2+1\beta = \frac{(1+z)^2 - 1}{(1+z)^2 + 1}

예제퀘이사의 적색편이

퀘이사 3C 273의 적색편이는 z=0.158z = 0.158입니다. 이 퀘이사의 후퇴 속도:

β=(1.158)2−1(1.158)2+1=1.341−11.341+1=0.3412.341≈0.146\beta = \frac{(1.158)^2 - 1}{(1.158)^2 + 1} = \frac{1.341 - 1}{1.341 + 1} = \frac{0.341}{2.341} \approx 0.146

즉, v≈0.146c≈4.37×107 m/sv \approx 0.146c \approx 4.37 \times 10^7\ \text{m/s}입니다.

비상대론적 근사 z≈βz \approx \beta를 쓰면 v≈0.158cv \approx 0.158c로, 이 정도 zz에서는 근사가 꽤 좋습니다.

4-벡터를 이용한 도플러 공식

참고도플러 효과의 공변적 표현

광자의 4-파수벡터 kμ=(ω/c, k)k^\mu = (\omega/c,\ \mathbf{k})와 관찰자의 4-속도 uμu^\mu를 이용하면, 관찰된 진동수는:

ωobs=gμν kμuν=kμuμ\omega_{\text{obs}} = g_{\mu\nu}\, k^\mu u^\nu = k_\mu u^\mu

이 표현은 기준틀에 무관한 공변적(covariant) 형태이며, 모든 각도의 도플러 효과를 통합적으로 기술합니다. 4-벡터의 자세한 내용은 Chapter 4에서 다룹니다.