질량 $m$(정지질량, rest mass)인 입자의 상대론적 3-운동량(relativistic momentum):

$\boxed{\mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v} = \frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}}$

여기서 $\gamma = (1 - v^2/c^2)^{-1/2}$이고 $\mathbf{v}$는 입자의 속도입니다.

• $v \ll c$: $\mathbf{p} \approx m\mathbf{v}$ (뉴턴 극한)
• $v \to c$: $|\mathbf{p}| \to \infty$ (유한 질량의 입자는 $c$에 도달 불가)

입자의 상대론적 총 에너지(relativistic total energy):

$\boxed{E = \gamma mc^2 = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}}$

이를 분해하면:

$E = \underbrace{mc^2}_{\text{정지 에너지}} + \underbrace{(\gamma - 1)mc^2}_{\text{운동 에너지 } T}$

상대론적 운동 에너지:

$T = (\gamma - 1)mc^2$

$v \ll c$에서 $\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2$이므로 $T \approx \frac{1}{2}mv^2$ (고전 극한).

4-운동량(four-momentum) $p^\mu$는 정지질량 $m$과 4-속도 $u^\mu = dx^\mu/d\tau$의 곱으로 정의됩니다:

$\boxed{p^\mu = mu^\mu = m\frac{dx^\mu}{d\tau} = \left(\frac{E}{c},\ \mathbf{p}\right) = (\gamma mc,\ \gamma m\mathbf{v})}$

여기서:

• $p^0 = E/c = \gamma mc$: 에너지 성분
• $p^i = \gamma mv^i$: 운동량 성분 ($i = 1, 2, 3$)

4-운동량은 로렌츠 변환에 대해 **4-벡터(four-vector)**로 변환됩니다.

4-운동량의 민코프스키 내적:

$p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu} p^\mu p^\nu = \frac{E^2}{c^2} - |\mathbf{p}|^2 = m^2 c^2$

이것은 로렌츠 불변량입니다. 정리하면:

$\boxed{E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2}$

이것이 유명한 에너지-운동량 관계입니다 (Chapter 3 법칙 참조).

$m = 0$인 입자(광자, 중력자 등)의 경우:

$E^2 = (pc)^2 \implies E = |p|c$

4-운동량: $p^\mu = \left(\frac{E}{c},\ \mathbf{p}\right)$이고 $p^\mu p_\mu = 0$ (빛꼴 벡터).

광자의 경우 $E = \hbar\omega$, $\mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}$이므로:

$p^\mu = \hbar k^\mu = \hbar\left(\frac{\omega}{c},\ \mathbf{k}\right)$

무질량 입자는 항상 광속 $c$로 운동합니다.