Step 1. 상대론적 뉴턴 제2법칙:

$\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(\gamma m \mathbf{v})$

Step 2. 힘이 한 일(work-energy theorem):

$W = \int_0^s \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \int_0^t \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}\, dt = \int_0^t \frac{d(\gamma m\mathbf{v})}{dt} \cdot \mathbf{v}\, dt$

Step 3. $\frac{d}{dt}(\gamma m\mathbf{v}) \cdot \mathbf{v}$를 계산합니다. 핵심 항등식:

$\frac{d\gamma}{dt} = \gamma^3 \frac{v}{c^2}\frac{dv}{dt}$

이를 이용하면:

$\frac{d(\gamma mv)}{dt} \cdot v = m\!\left(\frac{d\gamma}{dt}v^2 + \gamma v\frac{dv}{dt}\right) \cdot 1$

(1차원으로 단순화)

$= m\!\left(\gamma^3 \frac{v^2}{c^2}\frac{dv}{dt} \cdot v + \gamma v \frac{dv}{dt}\right)$

$= m\gamma v\frac{dv}{dt}\!\left(\gamma^2 \frac{v^2}{c^2} + 1\right)$

$\gamma^2 v^2/c^2 + 1 = \gamma^2(v^2/c^2 + 1/\gamma^2) = \gamma^2$이므로:

$= m\gamma^3 v \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\gamma mc^2)$

마지막 등호는 $\frac{d}{dt}(\gamma mc^2) = mc^2 \frac{d\gamma}{dt} = mc^2 \gamma^3 \frac{v}{c^2}\frac{dv}{dt} = m\gamma^3 v\frac{dv}{dt}$에서 확인됩니다.

Step 4. 따라서:

$W = \int_0^t \frac{d}{dt}(\gamma mc^2)\, dt = \gamma mc^2 - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2$

일-에너지 정리에 의해 $W = T$ (운동 에너지)이므로:

$T = (\gamma - 1)mc^2$

Step 5. 총 에너지 $E = T + E_0$에서, $v = 0$일 때 $T = 0$, $\gamma = 1$이 되려면:

$\boxed{E_0 = mc^2, \quad E = T + mc^2 = \gamma mc^2}$

Step 1. 4-속도의 정의:

$u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \gamma\frac{dx^\mu}{dt} = \gamma(c, \mathbf{v})$

Step 2. 4-운동량의 정의:

$p^\mu = mu^\mu = (\gamma mc, \gamma m\mathbf{v})$

Step 3. 3-운동량 성분이 $\mathbf{p} = \gamma m\mathbf{v}$이므로, 0-성분은 $p^0 = \gamma mc$입니다.

Step 4. $p^0$의 물리적 해석: 비상대론적 극한에서

$p^0 = \gamma mc \approx mc + \frac{mv^2}{2c} + \cdots = \frac{1}{c}\!\left(mc^2 + \frac{1}{2}mv^2 + \cdots\right)$

괄호 안이 (정지 에너지 + 운동 에너지)이므로:

$p^0 = \frac{E}{c} \implies \boxed{E = \gamma mc^2}$

정지 상태($v = 0$, $\gamma = 1$):

$\boxed{E_0 = mc^2}$

아인슈타인의 1905년 원래 논증을 현대적으로 재구성합니다.

설정: 질량 $M$의 상자가 정지해 있습니다. 왼쪽 벽에서 에너지 $E$의 광자가 오른쪽으로 방출됩니다.

Step 1. 광자의 운동량: $p = E/c$

운동량 보존에 의해, 상자는 왼쪽으로 반동합니다:

$Mv_{\text{box}} = -\frac{E}{c} \implies v_{\text{box}} = -\frac{E}{Mc}$

Step 2. 광자가 길이 $L$인 상자를 횡단하는 시간 $\Delta t \approx L/c$ (상자의 운동은 느리므로) 동안 상자의 이동:

$\Delta x_{\text{box}} = v_{\text{box}} \cdot \Delta t = -\frac{EL}{Mc^2}$

Step 3. 외력이 없으므로 질량 중심은 움직이지 않아야 합니다. 광자가 에너지 $E$를 왼쪽에서 오른쪽으로 운반한 것이 등가 질량 $\delta m$의 이동과 같다면:

$M \cdot \Delta x_{\text{box}} + \delta m \cdot L = 0$

$-\frac{MEL}{Mc^2} + \delta m \cdot L = 0$

$\boxed{\delta m = \frac{E}{c^2} \implies E = \delta m \cdot c^2}$

에너지 $E$의 전달은 질량 $E/c^2$의 전달과 동등합니다.