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물리학 강의 노트

법칙완성

에너지-운동량 관계 (Energy-Momentum Relation)

법칙의 진술

법칙3.1에너지-운동량 관계

정지질량 mm인 자유 입자의 총 에너지 EE와 운동량의 크기 p=∣p∣p = |\mathbf{p}| 사이의 관계:

E2=(pc)2+(mc2)2\boxed{E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2}

또는 자연 단위(c=1c = 1)에서:

E2=p2+m2E^2 = p^2 + m^2

이 관계는:

  • 기준틀에 무관한 로렌츠 불변 관계
  • 질량이 있는 입자(m>0m > 0)와 무질량 입자(m=0m = 0) 모두에 적용
  • 고전적 에너지-운동량 관계 E=p2/(2m)E = p^2/(2m)의 상대론적 일반화

유도

유도에너지-운동량 관계 유도

E=γmc2E = \gamma mc^2와 p=γmvp = \gamma mv로부터:

방법 1: 직접 계산

E2−(pc)2=γ2m2c4−γ2m2v2c2=γ2m2c2(c2−v2)E^2 - (pc)^2 = \gamma^2 m^2 c^4 - \gamma^2 m^2 v^2 c^2 = \gamma^2 m^2 c^2(c^2 - v^2)

=m2c2(c2−v2)1−v2/c2=m2c2⋅c2(1−v2/c2)1−v2/c2=m2c4= \frac{m^2 c^2(c^2 - v^2)}{1 - v^2/c^2} = \frac{m^2 c^2 \cdot c^2(1 - v^2/c^2)}{1 - v^2/c^2} = m^2 c^4

E2=p2c2+m2c4\boxed{E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4}

방법 2: 4-벡터의 내적

4-운동량 pμ=(E/c, p)p^\mu = (E/c,\ \mathbf{p})의 로렌츠 불변 내적:

pμpμ=ημνpμpν=E2c2−∣p∣2p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu} p^\mu p^\nu = \frac{E^2}{c^2} - |\mathbf{p}|^2

정지 기준틀에서 prestμ=(mc,0)p^\mu_{\text{rest}} = (mc, \mathbf{0})이므로:

pμpμ=m2c2p^\mu p_\mu = m^2 c^2

불변량이므로 모든 기준틀에서: E2/c2−p2=m2c2E^2/c^2 - p^2 = m^2 c^2

E2=p2c2+m2c4\boxed{E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4}

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특수한 경우

정지한 입자 (p=0p = 0)

E=mc2E = mc^2

아인슈타인의 유명한 질량-에너지 동등성입니다.

무질량 입자 (m=0m = 0)

E=pcE = pc

광자의 에너지와 운동량 관계입니다. 드브로이 관계 p=ℏkp = \hbar k, E=ℏωE = \hbar\omega와 결합하면 ω=ck\omega = ck, 즉 빛의 분산 관계가 됩니다.

극상대론적 극한 (E≫mc2E \gg mc^2)

E≈pc+m2c32p+⋯E \approx pc + \frac{m^2 c^3}{2p} + \cdots

질량이 있어도 E≫mc2E \gg mc^2이면 E≈pcE \approx pc로 무질량 입자처럼 행동합니다.

비상대론적 극한 (p≪mcp \ll mc)

E=mc21+p2m2c2≈mc2+p22m−p48m3c2+⋯E = mc^2\sqrt{1 + \frac{p^2}{m^2c^2}} \approx mc^2 + \frac{p^2}{2m} - \frac{p^4}{8m^3c^2} + \cdots

정지 에너지를 빼면 T≈p2/(2m)T \approx p^2/(2m) — 뉴턴 역학의 운동 에너지입니다.

에너지-운동량 다이어그램

참고질량 껍질 (Mass Shell)

EE-pp 평면에서 에너지-운동량 관계 E2=p2c2+m2c4E^2 = p^2c^2 + m^2c^4는 쌍곡선을 그립니다:

  • E>0E > 0 가지: 물리적 입자
  • E<0E < 0 가지: 디랙 해석에서 반입자 (또는 양자장론에서 음의 에너지 해)
  • m=0m = 0: 쌍곡선이 직선 E=pcE = pc로 퇴화 (광원뿔)

입자의 상태는 이 쌍곡선 위의 점으로 표현되며, 이를 질량 껍질(mass shell) 위에 있다고 합니다. 질량 껍질 조건 pμpμ=m2c2p^\mu p_\mu = m^2c^2은 자유 입자의 운동 방정식과 동등합니다.

유용한 관계식 모음

정의3.9에너지, 운동량, 속도의 관계

에너지-운동량 관계로부터 유도되는 유용한 공식들:

속도-운동량: v=pc2E=pγmv = \frac{pc^2}{E} = \frac{p}{\gamma m}

로렌츠 인자: γ=Emc2\gamma = \frac{E}{mc^2}

β\beta 매개변수: β=vc=pcE\beta = \frac{v}{c} = \frac{pc}{E}

운동 에너지: T=E−mc2=(γ−1)mc2T = E - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2

운동량-운동 에너지: p=1cT2+2Tmc2p = \frac{1}{c}\sqrt{T^2 + 2Tmc^2}

예제LHC에서의 양성자

LHC에서 양성자의 에너지는 E=6.5 TeV=6500 GeVE = 6.5\ \text{TeV} = 6500\ \text{GeV}입니다.

양성자의 정지 에너지: mpc2=0.938 GeVm_p c^2 = 0.938\ \text{GeV}

로렌츠 인자: γ=Empc2=65000.938≈6928\gamma = \frac{E}{m_p c^2} = \frac{6500}{0.938} \approx 6928

속도: β=1−1γ2=1−2.08×10−8≈1−1.04×10−8\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} = \sqrt{1 - 2.08 \times 10^{-8}} \approx 1 - 1.04 \times 10^{-8}

광속과의 차이: c−v≈3.1 m/sc - v \approx 3.1\ \text{m/s}

운동량: pc=E2−(mpc2)2=65002−0.9382≈6500 GeVpc = \sqrt{E^2 - (m_pc^2)^2} = \sqrt{6500^2 - 0.938^2} \approx 6500\ \text{GeV}

극상대론적이므로 E≈pcE \approx pc가 매우 좋은 근사입니다.

예제불변 질량을 이용한 입자 식별

입자 검출기에서 입자의 에너지 EE와 운동량 pp를 독립적으로 측정하면, 불변 질량을 계산하여 입자를 식별할 수 있습니다:

m=1c2E2−(pc)2m = \frac{1}{c^2}\sqrt{E^2 - (pc)^2}

힉스 보존의 발견(2012)에서, H→γγH \to \gamma\gamma 채널의 두 광자의 4-운동량 합으로부터:

mHc2=(E1+E2)2−∣p1+p2∣2c2≈125 GeVm_H c^2 = \sqrt{(E_1 + E_2)^2 - |\mathbf{p}_1 + \mathbf{p}_2|^2 c^2} \approx 125\ \text{GeV}

불변 질량 분포에서 125 GeV125\ \text{GeV} 부근의 피크가 힉스 보존의 존재를 확인해 주었습니다.