반변 4-벡터(contravariant four-vector) $A^\mu$는 로렌츠 변환에 대해 좌표와 같은 방식으로 변환되는 네 성분의 집합입니다:

$A'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu A^\nu$

여기서 $\Lambda^\mu{}_\nu$는 로렌츠 변환 행렬이고, 아인슈타인 합 규약(반복 지표에 대해 합산)을 사용합니다.

4-벡터의 예:

• 4-위치: $x^\mu = (ct, x, y, z)$
• 4-속도: $u^\mu = \gamma(c, \mathbf{v})$
• 4-운동량: $p^\mu = (E/c, \mathbf{p})$
• 4-파수: $k^\mu = (\omega/c, \mathbf{k})$
• 4-전류밀도: $J^\mu = (c\rho, \mathbf{J})$
• 4-퍼텐셜: $A^\mu = (\Phi/c, \mathbf{A})$

공변 4-벡터(covariant four-vector) $A_\mu$는 계량 텐서를 통해 반변 벡터로부터 정의됩니다:

$A_\mu = \eta_{\mu\nu} A^\nu$

$(+,-,-,-)$ 부호 규약에서:

$A_\mu = (A^0, -A^1, -A^2, -A^3)$

공변 벡터는 역변환에 대해:

$A'_\mu = (\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu A_\nu$

로 변환됩니다.

입자의 4-속도(four-velocity) $u^\mu$는 세계선의 고유 시간에 대한 미분:

$u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \gamma\frac{dx^\mu}{dt} = \gamma(c,\ v_x,\ v_y,\ v_z) = \gamma(c,\ \mathbf{v})$

4-속도의 불변 크기:

$u^\mu u_\mu = \gamma^2(c^2 - v^2) = \gamma^2 c^2(1 - \beta^2) = c^2$

따라서 **4-속도의 크기는 항상 $c$**입니다. 이것은 모든 물체가 시공간에서 "광속으로" 움직인다는 의미입니다 — 다만 그 방향이 시간 방향과 공간 방향으로 나뉠 뿐입니다.

4-가속도(four-acceleration):

$a^\mu = \frac{du^\mu}{d\tau}$

중요한 성질: 4-속도와 4-가속도는 직교합니다:

$u^\mu a_\mu = 0$

이것은 $u^\mu u_\mu = c^2$을 고유 시간으로 미분하면 즉시 얻어집니다:

$\frac{d}{d\tau}(u^\mu u_\mu) = 2u^\mu a_\mu = 0$

입자의 순간 정지 기준틀(instantaneous rest frame)에서 $u^\mu = (c, \mathbf{0})$이므로 $a^\mu = (0, \mathbf{a}_{\text{proper}})$이 되어, 4-가속도의 공간 성분이 **고유 가속도(proper acceleration)**를 줍니다.

두 4-벡터의 **민코프스키 내적(Minkowski inner product)**은 로렌츠 불변량(스칼라)입니다:

$A^\mu B_\mu = \eta_{\mu\nu} A^\mu B^\nu = A^0 B^0 - \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$

주요 로렌츠 스칼라:

• $x^\mu x_\mu = c^2t^2 - \mathbf{r}^2$: 시공간 간격
• $p^\mu p_\mu = E^2/c^2 - p^2 = m^2c^2$: 불변 질량의 제곱
• $u^\mu u_\mu = c^2$: 4-속도의 크기
• $k^\mu k_\mu = \omega^2/c^2 - k^2$: 분산 관계
• $\partial_\mu A^\mu = \frac{1}{c}\frac{\partial\Phi}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{A}$: 로렌츠 게이지 조건

4-힘(four-force) 또는 민코프스키 힘(Minkowski force):

$f^\mu = \frac{dp^\mu}{d\tau} = ma^\mu = \gamma\!\left(\frac{1}{c}\frac{dE}{dt},\ \mathbf{F}\right)$

여기서 $\mathbf{F} = d\mathbf{p}/dt$는 통상적인 3-힘입니다.

4-힘과 4-속도의 직교성 $f^\mu u_\mu = 0$으로부터:

$\gamma\!\left(\frac{dE}{dt} - \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}\right) = 0 \implies \frac{dE}{dt} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}$

이것은 일률(power)의 관계 $P = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}$를 자연스럽게 포함합니다.