물리학 강의 노트

정의4.11민코프스키 계량 텐서

민코프스키 계량 텐서(Minkowski metric tensor) $\eta_{\mu\nu}$ 는 시공간의 "거리"를 정의하는 2계 대칭 텐서입니다:

$ds^2 = \eta_{\mu\nu}\, dx^\mu dx^\nu$

$(+,-,-,-)$ 규약에서:

$\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

역 계량은 $\eta^{\mu\alpha}\eta_{\alpha\nu} = \delta^\mu{}_\nu$ 를 만족하며, 수치적으로 $\eta^{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}$ 입니다.

참고계량 텐서의 세 가지 역할

내적의 정의: 두 4-벡터의 민코프스키 내적 $A \cdot B = \eta_{\mu\nu} A^\mu B^\nu = A^0B^0 - \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$
지표의 올리기/내리기: $A_\mu = \eta_{\mu\nu} A^\nu, \quad A^\mu = \eta^{\mu\nu} A_\nu$
간격의 계산: $ds^2 = \eta_{\mu\nu}\, dx^\mu dx^\nu$ 로 시공간 "거리" 결정

정의4.12로렌츠 변환의 계량 보존 성질

로렌츠 변환 $\Lambda^\mu{}_\nu$ 는 민코프스키 계량을 보존하는 변환으로 정의됩니다:

$\boxed{\Lambda^\mu{}_\alpha\, \Lambda^\nu{}_\beta\, \eta_{\mu\nu} = \eta_{\alpha\beta}}$

행렬 표기로: $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$

이 조건은 시공간 간격 $ds^2$ 이 로렌츠 변환 하에서 불변임을 보장합니다. 유클리드 공간에서 회전 $R$ 이 $R^T \delta R = \delta$ (직교 조건)를 만족하는 것의 시공간 버전입니다.

유도계량 불변성으로부터의 로렌츠 군 조건

$x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu$ 일 때:

$ds'^2 = \eta_{\mu\nu} dx'^\mu dx'^\nu = \eta_{\mu\nu} \Lambda^\mu{}_\alpha \Lambda^\nu{}_\beta\, dx^\alpha dx^\beta$

$ds'^2 = ds^2$ 이려면:

$\eta_{\mu\nu} \Lambda^\mu{}_\alpha \Lambda^\nu{}_\beta = \eta_{\alpha\beta}$

이 조건에서 $\det(\Lambda) = \pm 1$ 이 따릅니다.

$4 \times 4$ 행렬 $\Lambda$ 는 16개의 성분을 가지고, 대칭 조건 $\Lambda^T\eta\Lambda = \eta$ 는 10개의 독립 방정식을 줍니다. 따라서 6개의 자유 매개변수가 있으며, 이는:

3개의 부스트: 세 공간 방향 ( $v_x, v_y, v_z$ )
3개의 회전: 세 공간축 둘레 ( $\theta_x, \theta_y, \theta_z$ )

에 해당합니다.

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정의4.13로렌츠 텐서

$(p, q)$ 형 텐서는 $p$ 개의 반변 지표와 $q$ 개의 공변 지표를 가지며, 로렌츠 변환에 대해:

$T'^{\mu_1\cdots\mu_p}{}_{\nu_1\cdots\nu_q} = \Lambda^{\mu_1}{}_{\alpha_1} \cdots \Lambda^{\mu_p}{}_{\alpha_p}\, (\Lambda^{-1})^{\beta_1}{}_{\nu_1} \cdots (\Lambda^{-1})^{\beta_q}{}_{\nu_q}\, T^{\alpha_1\cdots\alpha_p}{}_{\beta_1\cdots\beta_q}$

로 변환됩니다. 주요 예:

| 텐서 | 형 | 성분 수 | |------|-----|---------| | 스칼라 $\phi$ | $(0,0)$ | 1 | | 반변 벡터 $A^\mu$ | $(1,0)$ | 4 | | 공변 벡터 $A_\mu$ | $(0,1)$ | 4 | | 계량 $\eta_{\mu\nu}$ | $(0,2)$ | $4 \times 4$ 대칭 | | 전자기장 $F_{\mu\nu}$ | $(0,2)$ 반대칭 | $4 \times 4$ 반대칭 | | 에너지-운동량 $T^{\mu\nu}$ | $(2,0)$ | $4 \times 4$ 대칭 |

정의4.14레비-치비타 텐서

레비-치비타 텐서(Levi-Civita tensor) $\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ 는 완전 반대칭 4계 텐서입니다:

$\epsilon^{0123} = +1$

임의의 지표 치환에 대해 짝수 치환이면 $+1$ , 홀수 치환이면 $-1$ , 반복 지표가 있으면 $0$ 입니다.

지표를 내리면:

$\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} = \eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta}\eta_{\rho\gamma}\eta_{\sigma\delta}\,\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$

$(+,-,-,-)$ 규약에서 $\epsilon_{0123} = -1$ 입니다.

레비-치비타 텐서는 전자기장의 쌍대성(duality)과 4차원 체적 요소의 정의에 핵심적입니다.

정의4.154-미분 연산자

4-그래디언트(four-gradient) 연산자:

$\partial_\mu \equiv \frac{\partial}{\partial x^\mu} = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\ \nabla\right)$

$\partial^\mu = \eta^{\mu\nu}\partial_\nu = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\ -\nabla\right)$

달랑베르 연산자(d'Alembertian):

$\Box = \partial^\mu\partial_\mu = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2$

이것은 파동 방정식의 로렌츠 불변 형태입니다:

$\Box \phi = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - \nabla^2 \phi = 0$

$\partial_\mu$ 는 공변 벡터처럼 변환됩니다 (지표가 아래에 있음에 주의).

예제클라인-고든 방정식

스칼라 장 $\phi$ 에 대한 클라인-고든 방정식(Klein–Gordon equation):

$(\Box + \mu^2)\phi = 0, \quad \mu = \frac{mc}{\hbar}$

4-벡터 표기로:

$(\partial^\mu\partial_\mu + \mu^2)\phi = 0$

평면파 해 $\phi = \phi_0\, e^{-ik_\mu x^\mu}$ 를 대입하면:

$-k^\mu k_\mu + \mu^2 = 0 \implies k^\mu k_\mu = \mu^2$

$\frac{\omega^2}{c^2} - |\mathbf{k}|^2 = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}$

이것은 $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ 의 양자역학적 표현입니다 ( $E = \hbar\omega$ , $p = \hbar k$ ).

참고텐서 표기법의 위력

텐서 표기법을 사용하면, 물리 법칙이 올바른 로렌츠 변환 성질을 가지는지 형태만 보고 즉시 확인할 수 있습니다:

방정식의 양변이 같은 형(type)의 텐서이면 → 로렌츠 공변
모든 지표가 올바르게 짝지어져 있으면 → 형식적으로 일관

예를 들어, $\partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu$ 는 양변이 모두 반변 1계 텐서(4-벡터)이므로 자동적으로 로렌츠 공변입니다. 이것이 "아인슈타인 표기법"의 핵심 장점입니다.

계량 텐서 (Metric Tensor)

민코프스키 계량

계량 텐서의 역할

로렌츠 변환과 계량의 불변성

텐서와 텐서 대수

중요한 불변 텐서

4-미분 연산자