전기 퍼텐셜 $\Phi$와 자기 벡터 퍼텐셜 $\mathbf{A}$를 하나의 **4-퍼텐셜(four-potential)**로 통합합니다:

$A^\mu = \left(\frac{\Phi}{c},\ \mathbf{A}\right) = \left(\frac{\Phi}{c},\ A_x,\ A_y,\ A_z\right)$

공변 형태: $A_\mu = (\Phi/c,\ -\mathbf{A})$

4-퍼텐셜은 로렌츠 변환에 대해 4-벡터로 변환됩니다. 이것은 전기장과 자기장이 하나의 상대론적 객체의 서로 다른 측면임을 시사합니다.

전자기장 텐서(electromagnetic field tensor) 또는 패러데이 텐서(Faraday tensor) $F^{\mu\nu}$는 4-퍼텐셜의 반대칭 미분으로 정의됩니다:

$\boxed{F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu}$

이것은 2계 반대칭 텐서입니다: $F^{\mu\nu} = -F^{\nu\mu}$.

$4 \times 4$ 반대칭 행렬은 대각 성분이 0이므로 독립 성분은 6개이며, 이는 정확히 전기장 3성분 + 자기장 3성분에 대응합니다.

전기장 $\mathbf{E} = (E_x, E_y, E_z)$와 자기장 $\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)$로 표현하면:

$F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}$

공변 형태 $F_{\mu\nu} = \eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta}F^{\alpha\beta}$:

$F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}$

구성 규칙:

• $F^{0i} = -E_i/c$: 전기장 성분
• $F^{ij} = -\epsilon^{ijk}B_k$: 자기장 성분

$F^{\mu\nu}$의 호지 쌍대(Hodge dual):

$\tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma}$

명시적으로:

$\tilde{F}^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -B_x & -B_y & -B_z \\ B_x & 0 & E_z/c & -E_y/c \\ B_y & -E_z/c & 0 & E_x/c \\ B_z & E_y/c & -E_x/c & 0 \end{pmatrix}$

쌍대 변환은 $\mathbf{E}/c \leftrightarrow \mathbf{B}$ (부호 차이 포함)의 교환에 대응합니다. 이것이 전자기 쌍대성(electromagnetic duality)의 수학적 표현입니다.

전자기장 텐서로부터 두 가지 로렌츠 불변량을 구성할 수 있습니다:

제1불변량:

$\boxed{F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = 2\!\left(B^2 - \frac{E^2}{c^2}\right)}$

제2불변량:

$\boxed{F_{\mu\nu}\tilde{F}^{\mu\nu} = -\frac{4}{c}\,\mathbf{E} \cdot \mathbf{B}}$

이들의 물리적 의미:

• $B^2 - E^2/c^2$: 한 기준틀에서 $E > cB$이면 모든 기준틀에서 $E > cB$
• $\mathbf{E} \cdot \mathbf{B}$: 한 기준틀에서 $\mathbf{E} \perp \mathbf{B}$이면 모든 기준틀에서 $\mathbf{E} \perp \mathbf{B}$

따라서 순수 전기장을 로렌츠 변환으로 순수 자기장으로 바꾸는 것은 일반적으로 불가능합니다.