가우스 법칙과 앙페르-맥스웰 법칙을 하나로 통합합니다:

$\boxed{\partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu}$

여기서 $J^\nu = (c\rho,\ \mathbf{J})$는 **4-전류밀도(four-current density)**입니다.

각 $\nu$ 값에 따른 방정식:

$\nu = 0$:

$\partial_\mu F^{\mu 0} = \mu_0 J^0 = \mu_0 c\rho$

$\partial_i F^{i0} = \frac{1}{c}\nabla \cdot \mathbf{E} = \mu_0 c\rho$

$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \quad \checkmark \quad \text{(가우스 법칙)}$

$\nu = j$ (공간 성분):

$\partial_0 F^{0j} + \partial_i F^{ij} = \mu_0 J^j$

$-\frac{1}{c^2}\frac{\partial E_j}{\partial t} + (\nabla \times \mathbf{B})_j = \mu_0 J_j \quad \checkmark \quad \text{(앙페르-맥스웰 법칙)}$

가우스 자기 법칙과 패러데이 법칙을 하나로 통합합니다:

$\boxed{\partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = 0}$

또는 동등하게 비안키 항등식(Bianchi identity):

$\boxed{\partial_\lambda F_{\mu\nu} + \partial_\mu F_{\nu\lambda} + \partial_\nu F_{\lambda\mu} = 0}$

각 $\nu$ 값에 따른 방정식:

$\nu = 0$: $\partial_i \tilde{F}^{i0} = -\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \checkmark \quad \text{(가우스 자기 법칙)}$

$\nu = j$: $\partial_0 \tilde{F}^{0j} + \partial_i \tilde{F}^{ij} = -\frac{\partial B_j}{\partial t} - (\nabla \times \mathbf{E})_j = 0 \quad \checkmark \quad \text{(패러데이 법칙)}$

비동차 맥스웰 방정식에 $\partial_\nu$를 적용하면:

$\partial_\nu \partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 \partial_\nu J^\nu$

좌변은 $F^{\mu\nu}$의 반대칭성에 의해 0입니다 ($\partial_\nu\partial_\mu$는 대칭, $F^{\mu\nu}$는 반대칭):

$\boxed{\partial_\mu J^\mu = 0}$

이것은 전하 보존의 공변적 형태입니다:

$\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0$

전하 보존은 맥스웰 방정식의 수학적 귀결이며, 별도의 가정이 필요하지 않습니다.

$F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$를 비동차 방정식에 대입하면:

$\partial_\mu(\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu) = \mu_0 J^\nu$

$\Box A^\nu - \partial^\nu(\partial_\mu A^\mu) = \mu_0 J^\nu$

로렌츠 게이지(Lorenz gauge) $\partial_\mu A^\mu = 0$을 택하면:

$\boxed{\Box A^\nu = \mu_0 J^\nu}$

각 성분이 독립적인 파동 방정식이 됩니다! 이것은 로렌츠 공변적인 파동 방정식으로, 전자기파의 존재를 자연스럽게 함의합니다.

동차 방정식 $\partial_\lambda F_{\mu\nu} + \text{cyclic} = 0$은 $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$의 형태에서 자동으로 만족됩니다 (비안키 항등식).

전자기장의 에너지-운동량 텐서(energy-momentum tensor):

$T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0}\!\left(F^{\mu\alpha}F^\nu{}_\alpha - \frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\right)$

성분의 물리적 의미:

• $T^{00} = \frac{1}{2}\!\left(\epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0}\right)$: 에너지 밀도 $u$
• $T^{0i}/c = \frac{1}{\mu_0}(\mathbf{E} \times \mathbf{B})_i/c$: 포인팅 벡터 $\mathbf{S}/c^2$ (운동량 밀도)
• $T^{ij}$: 맥스웰 응력 텐서 $\sigma_{ij}$

보존 법칙:

$\partial_\mu T^{\mu\nu} = -F^{\nu\alpha}J_\alpha$

원천이 없으면 ($J^\mu = 0$): $\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0$ (에너지-운동량 보존)