$F^{\mu\nu}$는 2계 반변 텐서이므로 로렌츠 변환에 대해:

$F'^{\mu\nu} = \Lambda^\mu{}_\alpha\, \Lambda^\nu{}_\beta\, F^{\alpha\beta}$

$x$ 방향의 부스트에 대한 로렌츠 변환 행렬:

$\Lambda^\mu{}_\nu = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\beta & 0 & 0 \\ -\gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$F'^{01}$ 계산 ($E'_x$ 성분):

$F'^{01} = \Lambda^0{}_\alpha \Lambda^1{}_\beta F^{\alpha\beta}$

$= \Lambda^0{}_0 \Lambda^1{}_0 F^{00} + \Lambda^0{}_0 \Lambda^1{}_1 F^{01} + \Lambda^0{}_1 \Lambda^1{}_0 F^{10} + \Lambda^0{}_1 \Lambda^1{}_1 F^{11}$

$= \gamma(-\gamma\beta)(0) + \gamma \cdot \gamma \cdot F^{01} + (-\gamma\beta)(-\gamma\beta)F^{10} + (-\gamma\beta)\gamma(0)$

$= \gamma^2 F^{01} + \gamma^2\beta^2 F^{10} = \gamma^2 F^{01} - \gamma^2\beta^2 F^{01} = \gamma^2(1 - \beta^2)F^{01} = F^{01}$

따라서 $E'_x = E_x$ — 운동 방향의 전기장은 변하지 않습니다.

$F'^{02}$ 계산 ($E'_y$ 성분):

$F'^{02} = \Lambda^0{}_\alpha \Lambda^2{}_\beta F^{\alpha\beta} = \Lambda^0{}_0 F^{02} + \Lambda^0{}_1 F^{12}$

$= \gamma F^{02} + (-\gamma\beta)F^{12} = \gamma\!\left(-\frac{E_y}{c}\right) + (-\gamma\beta)(-B_z)$

$= -\frac{\gamma}{c}(E_y - vB_z) = -\frac{E'_y}{c}$

따라서 $E'_y = \gamma(E_y - vB_z)$.

$F'^{12}$ 계산 ($B'_z$ 성분):

$F'^{12} = \Lambda^1{}_\alpha \Lambda^2{}_\beta F^{\alpha\beta} = \Lambda^1{}_0 F^{02} + \Lambda^1{}_1 F^{12}$

$= (-\gamma\beta)\!\left(-\frac{E_y}{c}\right) + \gamma(-B_z) = \gamma\!\left(\frac{\beta E_y}{c} - B_z\right)$

$= -\gamma\!\left(B_z - \frac{vE_y}{c^2}\right) = -B'_z$

따라서 $B'_z = \gamma\!\left(B_z - \frac{v}{c^2}E_y\right)$.

나머지 성분도 같은 방법으로 계산하면 완전한 변환 법칙을 얻습니다.

제1불변량 $I_1 = B^2 - E^2/c^2$이 변환 후에도 보존됨을 확인합니다:

$E'^2 = E_x^2 + \gamma^2(E_y - vB_z)^2 + \gamma^2(E_z + vB_y)^2$

$B'^2 = B_x^2 + \gamma^2(B_y + vE_z/c^2)^2 + \gamma^2(B_z - vE_y/c^2)^2$

$B'^2 - E'^2/c^2$를 전개하면, $\gamma^2$ 항들이 $\gamma^2(1 - v^2/c^2) = 1$에 의해 정리되어:

$B'^2 - \frac{E'^2}{c^2} = B^2 - \frac{E^2}{c^2} \quad \checkmark$

마찬가지로 $\mathbf{E}' \cdot \mathbf{B}' = \mathbf{E} \cdot \mathbf{B}$도 확인할 수 있습니다.