물리학 강의 노트

정의1.1열역학적 엔트로피

엔트로피(entropy) $S$ 는 가역 과정에서 다음과 같이 정의되는 상태함수이다.

dS = \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}

유한 변화에 대해:

\Delta S = S_B - S_A = \int_A^B \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}

이 적분이 경로에 무관함은 카르노 정리와 클라우지우스의 논증으로 증명된다.

엔트로피는 크기변수(extensive variable)이며, SI 단위는 $\text{J/K}$ 이다.

정의1.2통계역학적 엔트로피

볼츠만의 공식(Boltzmann formula): 거시상태에 대응하는 미시상태의 수 $\Omega$ 로부터

S = k_B \ln \Omega

여기서 $k_B = 1.381 \times 10^{-23}\,\text{J/K}$ 는 볼츠만 상수이다.

보다 일반적으로, 깁스 엔트로피(Gibbs entropy)는

S = -k_B \sum_i p_i \ln p_i

로 정의되며, 여기서 $p_i$ 는 미시상태 $i$ 에 있을 확률이다. 미시정준 앙상블에서 $p_i = 1/\Omega$ 로 놓으면 볼츠만 공식을 회복한다.

정의1.3엔트로피의 기본 성질

S_{A+B} = S_A + S_B

\Delta S_{\text{고립계}} \geq 0

등호는 가역 과정에서만 성립한다.

S(\lambda U_1 + (1-\lambda)U_2) \geq \lambda S(U_1) + (1-\lambda)S(U_2)

이 성질은 열역학적 안정성의 기초가 된다.

예제이상기체의 엔트로피 변화

이상기체의 열역학 기본 관계식:

dS = \frac{dU + P\,dV}{T} = \frac{nC_V\,dT}{T} + \frac{nR\,dV}{V}

적분하면:

S(T, V) = S_0 + nC_V \ln\frac{T}{T_0} + nR\ln\frac{V}{V_0}

$(T, P)$ 를 변수로 사용하면:

S(T, P) = S_0 + nC_P \ln\frac{T}{T_0} - nR\ln\frac{P}{P_0}

자커-테트로데 공식 (Sackur-Tetrode formula)은 단원자 이상기체의 절대 엔트로피를 준다:

S = Nk_B\left[\frac{5}{2} + \ln\left(\frac{V}{N}\left(\frac{4\pi m U}{3Nh^2}\right)^{3/2}\right)\right]

예제비가역 과정의 엔트로피 변화 계산

엔트로피가 상태함수이므로, 비가역 과정의 엔트로피 변화를 계산할 때에도 같은 초기·최종 상태를 연결하는 가역 경로를 설계하여 적분한다.

예: 열전도에 의한 비가역 과정

온도 $T_H$ 의 물체와 $T_C$ 의 물체가 열적 접촉하여 열 $Q$ 가 전달된 경우:

\Delta S_H = -\frac{Q}{T_H}, \qquad \Delta S_C = +\frac{Q}{T_C}

\Delta S_{\text{total}} = Q\left(\frac{1}{T_C} - \frac{1}{T_H}\right) > 0

$T_H > T_C$ 이므로 총 엔트로피는 반드시 증가한다.

예: 이상기체의 자유팽창 ( $V_i \to V_f = 2V_i$ ):

\Delta S = nR\ln\frac{V_f}{V_i} = nR\ln 2 > 0

참고엔트로피와 정보 이론

샤논(Shannon)의 정보 엔트로피:

H = -\sum_i p_i \log_2 p_i

는 깁스 엔트로피와 상수 인자를 제외하면 동일한 수학적 형태이다:

S_{\text{Gibbs}} = k_B \ln 2 \cdot H

이는 열역학적 엔트로피가 계에 대한 정보의 부족을 정량화한다는 해석을 지지한다.

란다우어 원리(Landauer's principle): 1비트의 정보를 소거할 때 방출되는 최소 열:

Q_{\min} = k_BT\ln 2

이는 맥스웰의 도깨비(Maxwell's demon) 역설의 현대적 해결에 핵심적이다.

엔트로피 (Entropy)