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물리학 강의 노트

개념완성

카르노 기관 (Carnot Engine)

1. 카르노 순환

정의2.1카르노 순환

카르노 순환(Carnot cycle)은 두 개의 등온 과정과 두 개의 단열 과정으로 구성된 이상적인 가역 순환 과정이다.

네 단계:

  1. 등온 팽창 (THT_H, A→BA \to B): 고온 저장소로부터 열 QHQ_H를 흡수하며 팽창
  2. 단열 팽창 (B→CB \to C): 열 교환 없이 팽창하며 TH→TCT_H \to T_C로 냉각
  3. 등온 압축 (TCT_C, C→DC \to D): 저온 저장소로 열 QCQ_C를 방출하며 압축
  4. 단열 압축 (D→AD \to A): 열 교환 없이 압축하며 TC→THT_C \to T_H로 가열

이상기체의 경우:

QH=nRTHln⁡VBVA,QC=nRTCln⁡VCVDQ_H = nRT_H\ln\frac{V_B}{V_A}, \qquad Q_C = nRT_C\ln\frac{V_C}{V_D}

단열 과정의 조건 TVγ−1=constTV^{\gamma-1} = \text{const}로부터:

VBVA=VCVD\frac{V_B}{V_A} = \frac{V_C}{V_D}

2. 카르노 효율

정의2.2카르노 효율

카르노 기관의 열효율:

ηCarnot=1−QCQH=1−TCTH\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{Q_C}{Q_H} = 1 - \frac{T_C}{T_H}

이 결과는 작업 물질의 종류에 무관하며, 오직 두 열저장소의 온도에만 의존한다.

ηCarnot<1(단, TC>0)\eta_{\text{Carnot}} < 1 \quad (\text{단, } T_C > 0)

카르노 효율이 1이 되려면 TC=0T_C = 0이어야 하지만, 제3법칙에 의해 절대 영도에 도달할 수 없으므로, 열을 일로 100% 변환하는 것은 불가능하다.

3. 카르노 정리

법칙2.1카르노 정리
  1. 같은 두 온도의 열저장소 사이에서 작동하는 모든 비가역 기관의 효율은 카르노 기관의 효율보다 작다.
ηirrev<ηCarnot=1−TCTH\eta_{\text{irrev}} < \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_C}{T_H}
  1. 같은 두 온도의 열저장소 사이에서 작동하는 모든 가역 기관의 효율은 동일하며, 카르노 효율과 같다.
ηrev=ηCarnot\eta_{\text{rev}} = \eta_{\text{Carnot}}

따라서 카르노 효율은 주어진 온도 차이에서 달성 가능한 최대 효율이다.

참고카르노 정리의 증명 개요

귀류법: 카르노 기관보다 효율이 높은 기관 XX가 존재한다고 가정한다.

XX를 정방향으로, 카르노 기관을 역방향(히트 펌프)으로 운전하면, 합성 기관은 단일 열저장소에서 열을 흡수하여 전부 일로 변환하게 된다. 이는 켈빈-플랑크 진술에 모순이므로, 가정이 틀렸다.

가역 기관끼리의 효율 동일성은, 두 가역 기관을 서로 역방향으로 운전하면 모두 위의 논증이 적용되어 η1≤η2\eta_1 \leq \eta_2이고 η2≤η1\eta_2 \leq \eta_1이므로 η1=η2\eta_1 = \eta_2로 귀결된다.

4. 절대 온도 눈금의 정의

정의2.3열역학적 절대 온도

카르노 정리로부터, 두 저장소 사이에서 가역 기관이 교환하는 열의 비가

QCQH=f(θC,θH)\frac{Q_C}{Q_H} = f(\theta_C, \theta_H)

작업 물질에 무관한 보편 함수임을 알 수 있다. 켈빈(Thomson)은 이를 이용하여 열역학적 절대 온도를 정의했다:

TCTH≡QCQH\frac{T_C}{T_H} \equiv \frac{Q_C}{Q_H}

이 정의는 물질의 성질에 의존하지 않으며, 경험적 온도 눈금의 모호성을 완전히 해소한다.

5. 카르노 냉동기와 히트 펌프

정의2.4카르노 냉동기 및 히트 펌프

카르노 순환을 역방향으로 운전하면 냉동기 또는 히트 펌프가 된다.

성능계수 (coefficient of performance):

냉동기 (QCQ_C를 저온에서 제거):

COP냉동=QCW=TCTH−TC\text{COP}_{\text{냉동}} = \frac{Q_C}{W} = \frac{T_C}{T_H - T_C}

히트 펌프 (QHQ_H를 고온으로 공급):

COP히트펌프=QHW=THTH−TC\text{COP}_{\text{히트펌프}} = \frac{Q_H}{W} = \frac{T_H}{T_H - T_C}

관계식:

COP히트펌프=COP냉동+1\text{COP}_{\text{히트펌프}} = \text{COP}_{\text{냉동}} + 1

히트 펌프의 COP는 항상 1보다 크므로, 전기 저항 가열보다 효율적이다.

6. TT-SS 다이어그램

예제카르노 순환의 $T$-$S$ 다이어그램

TT-SS 다이어그램에서 카르노 순환은 직사각형으로 표현된다:

  • 등온 팽창: T=THT = T_H (수평선, S1→S2S_1 \to S_2)
  • 단열 팽창: S=S2S = S_2 (수직선, TH→TCT_H \to T_C)
  • 등온 압축: T=TCT = T_C (수평선, S2→S1S_2 \to S_1)
  • 단열 압축: S=S1S = S_1 (수직선, TC→THT_C \to T_H)

순환에서 한 순일(net work):

Wnet=∮T dS=(TH−TC)(S2−S1)W_{\text{net}} = \oint T\,dS = (T_H - T_C)(S_2 - S_1)

이는 TT-SS 다이어그램에서 직사각형의 면적이다. 흡수한 열:

QH=TH(S2−S1)Q_H = T_H(S_2 - S_1)

따라서 효율:

η=WnetQH=(TH−TC)(S2−S1)TH(S2−S1)=1−TCTH\eta = \frac{W_{\text{net}}}{Q_H} = \frac{(T_H - T_C)(S_2 - S_1)}{T_H(S_2 - S_1)} = 1 - \frac{T_C}{T_H}