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물리학 강의 노트

개념완성

비가역성 (Irreversibility)

1. 가역 과정과 비가역 과정

정의3.1가역 과정과 비가역 과정

가역 과정(reversible process): 과정의 모든 단계를 역방향으로 되돌릴 때, 계와 환경 모두 원래 상태로 완전히 복원될 수 있는 과정. 우주 전체의 엔트로피 변화가 0이다.

ΔSuniverse=ΔSsystem+ΔSsurroundings=0(가역)\Delta S_{\text{universe}} = \Delta S_{\text{system}} + \Delta S_{\text{surroundings}} = 0 \quad (\text{가역})

비가역 과정(irreversible process): 원래 상태로 되돌렸을 때, 환경에 어떤 변화가 남는 과정. 우주 전체의 엔트로피가 증가한다.

ΔSuniverse>0(비가역)\Delta S_{\text{universe}} > 0 \quad (\text{비가역})

모든 자연 과정(spontaneous process)은 비가역적이다.

2. 비가역성의 원인

정의3.2비가역성의 원천

비가역성을 야기하는 대표적 물리적 원인:

  1. 열전도: 유한한 온도차를 가로지르는 열 흐름
ΔS=Q(1TC−1TH)>0\Delta S = Q\left(\frac{1}{T_C} - \frac{1}{T_H}\right) > 0

  1. 마찰: 역학적 에너지의 열에너지로의 비가역적 변환

  2. 자유팽창: 진공 속으로의 비제어 팽창

ΔS=nRln⁡VfVi>0\Delta S = nR\ln\frac{V_f}{V_i} > 0
  1. 혼합: 서로 다른 기체의 비가역적 혼합
ΔSmix=−nR∑ixiln⁡xi>0\Delta S_{\text{mix}} = -nR\sum_i x_i \ln x_i > 0

여기서 xix_i는 성분 ii의 몰분율이다.

  1. 화학반응: 평형에서 벗어난 방향으로의 반응

  2. 전류의 흐름: 저항에서의 줄 발열

3. 엔트로피 생성

정의3.3엔트로피 생성

비가역 과정에서 엔트로피의 변화는 두 부분으로 나눌 수 있다:

dS=deS+diSdS = d_eS + d_iS
  • deSd_eS: 환경과의 열 교환에 의한 엔트로피 유입(entropy flux)
deS=δQTboundaryd_eS = \frac{\delta Q}{T_{\text{boundary}}}
  • diSd_iS: 계 내부의 비가역 과정에 의한 엔트로피 생성(entropy production)
diS≥0d_iS \geq 0

등호는 가역 과정에서만 성립.

고립계에서는 deS=0d_eS = 0이므로 dS=diS≥0dS = d_iS \geq 0이다.

4. 비가역 과정의 엔트로피 계산

예제유한 온도차의 열전도

질량 mm, 비열 cc인 두 물체가 초기 온도 T1T_1, T2T_2 (T1>T2T_1 > T_2)에서 열적 접촉한다. 최종 평형 온도:

Tf=T1+T22(질량과 비열이 같을 때)T_f = \frac{T_1 + T_2}{2} \quad (\text{질량과 비열이 같을 때})

엔트로피 변화:

ΔS=mcln⁡TfT1+mcln⁡TfT2=mcln⁡Tf2T1T2\Delta S = mc\ln\frac{T_f}{T_1} + mc\ln\frac{T_f}{T_2} = mc\ln\frac{T_f^2}{T_1 T_2}ΔS=mcln⁡(T1+T2)24T1T2>0\Delta S = mc\ln\frac{(T_1 + T_2)^2}{4T_1 T_2} > 0

마지막 부등식은 산술-기하 평균 부등식 (T1+T2)/2>T1T2(T_1 + T_2)/2 > \sqrt{T_1 T_2} (T1≠T2T_1 \neq T_2)에서 따라 나온다.

5. 가용 에너지와 비가역성

정의3.4가용 에너지 손실

비가역 과정에서의 가용 에너지(available energy) 손실, 즉 고이-스토돌라 정리(Gouy-Stodola theorem):

Wlost=Wrev−Wactual=T0 ΔSuniverseW_{\text{lost}} = W_{\text{rev}} - W_{\text{actual}} = T_0 \, \Delta S_{\text{universe}}

여기서 T0T_0는 환경(최저 온도 저장소)의 온도이다.

이는 엔트로피 생성 1단위당 T0T_0만큼의 일 능력이 비가역적으로 소실됨을 의미한다. 따라서 엔트로피 생성은 에너지 질의 저하를 정량화한다.

6. 비가역성의 미시적 이해

참고비가역성의 통계역학적 기원

미시적 운동 법칙(뉴턴 역학, 슈뢰딩거 방정식)은 시간 반전 대칭(time-reversal symmetry)을 가진다. 그렇다면 어떻게 거시적 비가역성이 출현하는가?

이는 통계역학의 핵심 문제 중 하나이다. 볼츠만의 해결:

S=kBln⁡ΩS = k_B \ln \Omega

에서 엔트로피가 증가하는 것은, 계가 더 많은 미시상태를 가진 거시상태로 이동하기 때문이다. 이는 결정론적이 아니라 확률적이다.

퐁카레 재귀 정리(Poincare recurrence theorem)에 의하면, 충분히 긴 시간 후 계는 원래 상태 근처로 되돌아온다. 그러나 거시적 계의 재귀 시간은

trecurrence∼eNt_{\text{recurrence}} \sim e^{N}

로 천문학적이어서 실질적으로 관측 불가능하다 (N∼1023N \sim 10^{23}).

로슈미트의 역설(Loschmidt's paradox)과 체르멜로의 역설(Zermelo's paradox)은 각각 시간 반전 대칭성과 퐁카레 재귀를 근거로 볼츠만의 HH-정리에 이의를 제기했지만, 볼츠만은 초기 조건의 통계적 성질과 거시적 시간 스케일의 차이로 이를 반박했다.