이상기체를 작업 물질로 사용하는 카르노 기관의 효율을 단계별로 유도한다.

설정: 이상기체 $n$몰이 고온 저장소 $T_H$와 저온 저장소 $T_C$ 사이에서 카르노 순환을 수행한다. 네 꼭짓점 상태를 $A(P_A, V_A)$, $B(P_B, V_B)$, $C(P_C, V_C)$, $D(P_D, V_D)$로 표기한다.

2. 각 단계의 분석

단계 1: 등온 팽창 ($A \to B$, 온도 $T_H$)

이상기체의 내부에너지는 온도에만 의존하므로 $\Delta U_{AB} = 0$.

단계 2: 단열 팽창 ($B \to C$, $T_H \to T_C$)

$\delta Q = 0$이므로 $dU = -P\,dV$. 단열 조건:

단계 3: 등온 압축 ($C \to D$, 온도 $T_C$)

(계가 방출하는 열을 양으로 정의)

단계 4: 단열 압축 ($D \to A$, $T_C \to T_H$)

3. 핵심 관계식 도출

식 (i)를 식 (ii)로 나누면:

$\gamma > 1$이므로:

4. 효율 계산

열효율:

식 (iii)에 의해 $\ln(V_C/V_D) = \ln(V_B/V_A)$이므로:

위의 유도는 이상기체를 가정했지만, 카르노 효율은 작업 물질에 무관하다. 이를 순수 열역학적으로 증명한다.

가역 순환 과정에서 클라우지우스 부등식의 등호:

카르노 순환에서 열 교환은 $T_H$와 $T_C$에서만 일어나므로:

따라서:

이 결과는 작업 물질의 상태방정식이나 열적 성질에 대한 어떠한 가정도 사용하지 않았다. 오직 제2법칙(클라우지우스 부등식)만을 사용했다.