물리학 강의 노트

정의2.1르장드르 변환

볼록 함수 $f(x)$ 에 대해, 르장드르 변환(Legendre transform)은 독립변수를 $x$ 에서 그 기울기 $p = f'(x)$ 로 교체하는 변환이다.

g(p) = \sup_x \left[px - f(x)\right] = px^*(p) - f(x^*(p))

여기서 $x^*(p)$ 는 $px - f(x)$ 를 최대화하는 $x$ 의 값으로, $p = f'(x^*)$ 를 만족한다.

기하학적으로, $g(p)$ 는 기울기 $p$ 인 접선의 $y$ -절편(의 부호를 바꾼 것)이다.

역변환: $g(p)$ 에 르장드르 변환을 다시 적용하면 원래 함수 $f(x)$ 를 회복한다 (볼록 함수의 경우).

f(x) = \sup_p \left[xp - g(p)\right]

이 대합성(involutivity)은 르장드르 변환의 핵심 성질이다.

정의2.2다변수로의 확장

$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 에서 변수 $x_1$ 을 그 켤레 $p_1 = \partial f / \partial x_1$ 로 교체:

g(p_1, x_2, \ldots, x_n) = f - p_1 x_1

이때 $x_1 = x_1(p_1, x_2, \ldots)$ 는 $p_1 = \partial f/\partial x_1$ 의 역함수이다.

미분:

dg = df - p_1\,dx_1 - x_1\,dp_1 = -x_1\,dp_1 + \sum_{i=2}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i

여러 변수를 동시에 교체할 수도 있다. $k$ 개의 변수를 교체하면:

g(p_1, \ldots, p_k, x_{k+1}, \ldots, x_n) = f - \sum_{i=1}^k p_i x_i

정의2.3열역학 퍼텐셜과 르장드르 변환

$U(S, V, N)$ 에서 출발하여 각 열역학 퍼텐셜이 르장드르 변환으로 얻어진다.

$S \to T$ 교체 ( $T = \partial U/\partial S$ ):

F(T, V, N) = U - TS \qquad (\text{헬름홀츠 자유에너지})

$V \to P$ 교체 ( $-P = \partial U/\partial V$ 이므로 $P = -\partial U/\partial V$ ):

H(S, P, N) = U - (-P)V = U + PV \qquad (\text{엔탈피})

$S \to T$ , $V \to P$ 동시 교체:

G(T, P, N) = U - TS + PV \qquad (\text{깁스 자유에너지})

$S \to T$ , $N \to \mu$ 교체:

\Phi(T, V, \mu) = U - TS - \mu N \qquad (\text{그랜드 퍼텐셜})

참고르장드르 변환의 정보 보존

르장드르 변환의 핵심적 중요성은 정보의 보존에 있다.

$U(S, V, N)$ (기본 관계)를 아는 것은 계의 모든 열역학적 정보를 포함한다. 르장드르 변환으로 얻은 $F(T, V, N)$ , $H(S, P, N)$ , $G(T, P, N)$ 등도 마찬가지이다.

그러나 $U$ 를 자연변수가 아닌 변수로 표현하면 정보가 손실된다. 예를 들어, $U(T, V)$ 는 상태방정식 하나만을 제공하며, 이것만으로는 열역학적 정보를 완전히 복원할 수 없다.

U(S, V) \xrightarrow{\text{르장드르}} F(T, V) \quad \text{완전한 정보 보존}

U(S, V) \xrightarrow{\text{단순 변수 치환}} U(T, V) \quad \text{정보 손실!}

정의2.4볼록성 조건과 열역학적 안정성

르장드르 변환이 잘 정의되려면 함수가 볼록(convex) 또는 오목(concave)이어야 한다.

엔트로피 $S(U, V, N)$ 는 크기변수의 오목 함수이다:

\frac{\partial^2 S}{\partial U^2} \leq 0 \implies \frac{\partial T^{-1}}{\partial U} \leq 0 \implies \frac{\partial T}{\partial U} \geq 0 \implies C_V \geq 0

내부에너지 $U(S, V, N)$ 는 크기변수의 볼록 함수이다:

\frac{\partial^2 U}{\partial S^2} \geq 0 \implies \frac{\partial T}{\partial S} \geq 0 \implies \frac{T}{C_V} \geq 0

\frac{\partial^2 U}{\partial V^2} \geq 0 \implies -\frac{\partial P}{\partial V} \geq 0 \implies \kappa_T^{-1} \geq 0

이 조건들은 열역학적 안정성의 기본 조건이다:

$C_V \geq 0$ (열적 안정성)
$\kappa_T \geq 0$ (역학적 안정성)

예제분배함수와 르장드르 변환

통계역학에서 엔트로피 $S(E)$ 와 자유에너지 $F(T)$ 의 관계는 르장드르 변환이다.

미시정준 앙상블: $S(E) = k_B \ln \Omega(E)$

정준 앙상블: $F(T) = -k_BT \ln Z(T)$

F = E - TS, \qquad \frac{1}{T} = \frac{\partial S}{\partial E}

열역학적 극한( $N \to \infty$ )에서 안장점 근사(saddle-point approximation)를 통해:

Z(\beta) = \sum_E \Omega(E) e^{-\beta E} \approx \Omega(E^*) e^{-\beta E^*}

-\beta F = \ln Z \approx S(E^*)/k_B - \beta E^*

이는 정확히 르장드르 변환의 구조이다. 즉, 앙상블의 전환은 수학적으로 르장드르 변환에 대응한다.

| 앙상블 | 퍼텐셜 | 자연변수 | |--------|--------|----------| | 미시정준 | $S(E, V, N)$ | $E, V, N$ | | 정준 | $F(T, V, N)$ | $T, V, N$ | | 등온-등압 | $G(T, P, N)$ | $T, P, N$ | | 대정준 | $\Phi(T, V, \mu)$ | $T, V, \mu$ |

르장드르 변환 (Legendre Transform)

1. 수학적 정의

2. 다변수 르장드르 변환

3. 열역학에의 적용

4. 정보 보존

5. 볼록성과 안정성

6. 르장드르 변환과 통계역학