물리학 강의 노트

정의1.1미시상태

미시상태(microstate)란 계를 구성하는 모든 입자들의 역학적 상태를 완전히 지정한 것이다.

고전역학적 미시상태: $N$ 개 입자의 위치와 운동량으로 지정. $6N$ 차원 위상공간(phase space) $\Gamma$ 의 한 점:

(\mathbf{q}, \mathbf{p}) = (q_1, \ldots, q_{3N}, p_1, \ldots, p_{3N}) \in \Gamma

양자역학적 미시상태: 계의 힐베르트 공간(Hilbert space)에서의 에너지 고유상태 $|\psi_n\rangle$ :

\hat{H}|\psi_n\rangle = E_n |\psi_n\rangle

양자역학에서 미시상태는 이산적(discrete)으로 셀 수 있으며, 이것이 통계역학의 계산을 잘 정의되게 만든다.

정의1.2거시상태

거시상태(macrostate)란 계를 거시적 열역학 변수(에너지 $E$ , 부피 $V$ , 입자수 $N$ , 온도 $T$ 등)로 기술한 것이다.

하나의 거시상태에는 일반적으로 매우 많은 미시상태가 대응한다. 거시상태 $(E, V, N)$ 에 대응하는 미시상태의 수를 $\Omega(E, V, N)$ 이라 하면, 이 수는 거시적 계에서 천문학적으로 크다.

\Omega \sim e^{N} \quad (N \sim 10^{23})

예: $N$ 개의 이상기체 입자의 $\Omega(E, V, N)$ :

\Omega(E, V, N) = \frac{V^N}{N! h^{3N}} \frac{(2\pi m E)^{3N/2}}{\Gamma(3N/2 + 1)}

정의1.3등확률 가설

등확률 가설(equal a priori probability postulate): 고립계(에너지 $E$ , 부피 $V$ , 입자수 $N$ 고정)에서, 접근 가능한 모든 미시상태는 동일한 확률로 실현된다.

p_i = \frac{1}{\Omega(E, V, N)} \quad \text{for all accessible microstates } i

이것은 통계역학의 기본 공리(fundamental postulate)이며, 실험과의 부합으로 정당화된다.

에르고딕 가설(ergodic hypothesis): 충분히 긴 시간 동안 계의 시간 평균이 앙상블 평균과 일치한다.

\langle A \rangle_{\text{time}} = \langle A \rangle_{\text{ensemble}} = \frac{1}{\Omega}\sum_{i=1}^{\Omega} A_i

정의1.4상태 밀도

상태 밀도(density of states) $g(E)$ 는 에너지 $E$ 근방의 단위 에너지 구간에 들어있는 미시상태의 수이다.

g(E) = \frac{d\Omega_{\leq}(E)}{dE}

여기서 $\Omega_{\leq}(E)$ 는 에너지 $E$ 이하의 미시상태 수이다. 또는

\Omega(E, \delta E) = g(E)\,\delta E

고전역학에서:

g(E) = \frac{1}{N! h^{3N}} \int \delta(H(\mathbf{q}, \mathbf{p}) - E)\,d^{3N}q\,d^{3N}p

여기서 $N!$ 은 동일 입자의 비구별성(깁스 보정), $h^{3N}$ 은 위상공간의 양자화 단위이다.

예제이상기체 입자 분배 문제

$N$ 개의 구별 가능한 입자를 부피 $V$ 의 상자에 넣고, 상자를 반으로 나누었을 때, 왼쪽에 $n$ 개, 오른쪽에 $N-n$ 개가 있을 거시상태의 미시상태 수:

\Omega(n) = \binom{N}{n} = \frac{N!}{n!(N-n)!}

$n = N/2$ 일 때 $\Omega$ 이 최대가 된다. 스털링 근사 $\ln N! \approx N\ln N - N$ 을 사용하면:

\ln\Omega(n) \approx N\ln N - n\ln n - (N-n)\ln(N-n)

$n = N/2 + \delta$ 로 놓고 $\delta/N \ll 1$ 에서 전개하면:

\ln\Omega \approx N\ln 2 - \frac{2\delta^2}{N}

\Omega(\delta) \approx \Omega_{\max}\, e^{-2\delta^2/N}

이는 $\delta \sim \sqrt{N}$ 폭의 가우스 분포이다. $N \sim 10^{23}$ 일 때 상대적 요동 $\delta/N \sim 1/\sqrt{N} \sim 10^{-12}$ 로 극히 작다.

이것이 열역학적 극한에서 거시상태의 날카로움(sharpness)의 기원이다.

참고리우빌 정리

리우빌 정리(Liouville's theorem): 해밀턴 역학에서 위상공간의 분포함수 $\rho(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)$ 는 위상 흐름(Hamiltonian flow)을 따라 보존된다.

\frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \{\rho, H\} = 0

여기서 $\{\ ,\ \}$ 는 푸아송 괄호이다.

이는 위상공간에서의 비압축성 유체 조건에 해당하며, 통계역학의 등확률 가설과 양립한다: 미시정준 분포 $\rho = \text{const}$ (에너지 껍질 위에서)는 리우빌 방정식의 정상 해이다.

양자역학에서의 대응: 폰 노이만 방정식

i\hbar\frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} = [\hat{H}, \hat{\rho}]

밀도 행렬 $\hat{\rho}$ 가 $\hat{H}$ 와 교환하면 정상 상태이다.

미시·거시 상태 (Microstates and Macrostates)