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물리학 강의 노트

법칙완성

볼츠만 분포 (Boltzmann Distribution)

1. 볼츠만 분포 법칙

법칙4.1볼츠만 분포

온도 TT의 열저장소와 열평형에 있는 계가 에너지 EiE_i인 미시상태 ii에 있을 확률은

pi=e−Ei/kBTZ=e−βEiZp_i = \frac{e^{-E_i / k_BT}}{Z} = \frac{e^{-\beta E_i}}{Z}

이다. 여기서 β=1/(kBT)\beta = 1/(k_BT)이고, Z=∑je−βEjZ = \sum_j e^{-\beta E_j}는 정규화 상수(분배함수)이다.

높은 에너지 상태에 있을 확률은 지수적으로 억제된다. 에너지 차이가 ΔE\Delta E인 두 상태의 점유 확률비:

pipj=e−β(Ei−Ej)\frac{p_i}{p_j} = e^{-\beta(E_i - E_j)}

2. 유도: 엔트로피 극대화

유도볼츠만 분포의 유도

평균 에너지 ⟨E⟩=∑ipiEi\langle E\rangle = \sum_i p_i E_i와 정규화 ∑ipi=1\sum_i p_i = 1 조건하에서 깁스 엔트로피

S=−kB∑ipiln⁡piS = -k_B\sum_i p_i \ln p_i

를 극대화하는 분포를 라그랑주 승수법으로 구한다.

δ[−kB∑ipiln⁡pi−α(∑ipi−1)−β′(∑ipiEi−⟨E⟩)]=0\delta\left[-k_B\sum_i p_i\ln p_i - \alpha\left(\sum_i p_i - 1\right) - \beta'\left(\sum_i p_i E_i - \langle E\rangle\right)\right] = 0

pip_i에 대해 변분하면:

−kB(ln⁡pi+1)−α−β′Ei=0-k_B(\ln p_i + 1) - \alpha - \beta' E_i = 0pi=e−1−α/kB e−β′Ei/kBp_i = e^{-1 - \alpha/k_B}\,e^{-\beta' E_i/k_B}

정규화 조건으로 e−1−α/kB=1/Ze^{-1-\alpha/k_B} = 1/Z를 결정하고, β′=1/T\beta' = 1/T를 확인하면 볼츠만 분포를 얻는다.

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3. 맥스웰-볼츠만 속도 분포

정의4.1맥스웰-볼츠만 속도 분포

이상기체에서 개별 분자의 속력 분포:

f(v)=4πn(m2πkBT)3/2v2exp⁡(−mv22kBT)f(v) = 4\pi n\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2} v^2 \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_BT}\right)

특성 속력들:

최빈 속력 (most probable speed):

vp=2kBTmv_p = \sqrt{\frac{2k_BT}{m}}

평균 속력 (mean speed):

⟨v⟩=8kBTπm\langle v\rangle = \sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m}}

제곱평균제곱근 속력 (RMS speed):

vrms=⟨v2⟩=3kBTmv_{\text{rms}} = \sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt{\frac{3k_BT}{m}}vp<⟨v⟩<vrmsv_p < \langle v \rangle < v_{\text{rms}}

4. 대기의 등온 밀도 분포

예제기압 높이 공식

균일 온도 TT의 대기에서, 중력 퍼텐셜에너지 Epot=mghE_{\text{pot}} = mgh를 볼츠만 인자에 적용하면:

n(h)=n0exp⁡(−mghkBT)n(h) = n_0 \exp\left(-\frac{mgh}{k_BT}\right)P(h)=P0exp⁡(−hH)P(h) = P_0 \exp\left(-\frac{h}{H}\right)

여기서 스케일 높이 H=kBT/(mg)H = k_BT/(mg)이다.

지구 대기의 경우 (T=300 KT = 300\,\text{K}, 질소 분자):

H=(1.38×10−23)(300)(4.65×10−26)(9.8)≈8.5 kmH = \frac{(1.38 \times 10^{-23})(300)}{(4.65 \times 10^{-26})(9.8)} \approx 8.5\,\text{km}

에베레스트 정상(h=8849 mh = 8849\,\text{m})에서의 기압은 해수면의 약 e−8849/8500≈0.35e^{-8849/8500} \approx 0.35배, 즉 약 35%이다.

5. 에너지 등분배

법칙4.2에너지 등분배 원리(고전적)

고전적 해밀토니안이 H=∑iaiqi2H = \sum_i a_i q_i^2와 같이 일반화된 좌표(또는 운동량)의 이차형식으로 주어질 때, 각 이차항의 평균 에너지 기여는

⟨aiqi2⟩=12kBT\langle a_i q_i^2 \rangle = \frac{1}{2}k_BT

이다. 즉, 각 이차 자유도(quadratic degree of freedom)에 12kBT\frac{1}{2}k_BT의 에너지가 배분된다.

단원자 이상기체 (f=3f = 3 병진 자유도):

⟨E⟩=32kBT,CV=32NkB\langle E \rangle = \frac{3}{2}k_BT, \quad C_V = \frac{3}{2}Nk_B

이원자 이상기체 (f=5f = 5: 병진 3 + 회전 2):

⟨E⟩=52kBT,CV=52NkB\langle E \rangle = \frac{5}{2}k_BT, \quad C_V = \frac{5}{2}Nk_B

6. 볼츠만 분포의 한계

참고고전적 볼츠만 분포의 한계

볼츠만 분포는 고전적 극한에서만 정확하다. 양자효과가 중요해지는 조건:

nλth3≳1n\lambda_{\text{th}}^3 \gtrsim 1

즉 입자간 평균 거리가 열적 드 브로이 파장과 비슷해질 때 양자 통계가 필요하다.

| 조건 | 적용 통계 | |------|---------| | nλth3≪1n\lambda_{\text{th}}^3 \ll 1 | 맥스웰-볼츠만 (고전) | | 페르미온, nλth3≳1n\lambda_{\text{th}}^3 \gtrsim 1 | 페르미-디랙 | | 보존, nλth3≳1n\lambda_{\text{th}}^3 \gtrsim 1 | 보즈-아인슈타인 |

등분배 정리도 저온에서 실패한다. 예를 들어, 이원자 분자의 열용량은 저온에서 진동 모드가 동결되어 CV=52NkBC_V = \frac{5}{2}Nk_B에서 32NkB\frac{3}{2}Nk_B로 감소한다. 이는 양자역학적 에너지 준위 간격 ℏω\hbar\omega가 kBTk_BT보다 클 때 발생한다.