물리학 강의 노트

정의1.1페르미-디랙 분포

동일한 페르미온(fermion, 반정수 스핀 입자)으로 구성된 계에서, 에너지 $\epsilon$ 인 단일 입자 상태의 평균 점유수(mean occupation number):

\langle n(\epsilon)\rangle = f_{FD}(\epsilon) = \frac{1}{e^{\beta(\epsilon - \mu)} + 1}

여기서 $\beta = 1/(k_BT)$ , $\mu$ 는 화학 퍼텐셜이다.

핵심 성질:

f_{FD}(\epsilon)\bigg|_{T=0} = \begin{cases} 1 & \epsilon < \mu \\ 0 & \epsilon > \mu \end{cases}

정의1.2페르미 에너지

절대 영도에서의 화학 퍼텐셜을 페르미 에너지(Fermi energy) $E_F \equiv \mu(T=0)$ 라 한다.

3차원 자유 전자 기체에서, 상태 밀도 $g(\epsilon) = C\sqrt{\epsilon}$ ( $C = V(2m)^{3/2}/(2\pi^2\hbar^3)$ )와 정규화 조건 $N = \int_0^{E_F} g(\epsilon)\,d\epsilon$ 로부터:

E_F = \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{3\pi^2 N}{V}\right)^{2/3}

페르미 온도(Fermi temperature): $T_F = E_F / k_B$

페르미 파수: $k_F = (3\pi^2 n)^{1/3}$ , 여기서 $n = N/V$

페르미 속력: $v_F = \hbar k_F / m$

금속의 전도 전자 예:

$T_F$ 가 실온보다 수백 배 높으므로, 금속 전자는 실온에서도 강하게 축퇴(strongly degenerate)되어 있다.

예제$T = 0$에서의 에너지와 압력

절대 영도에서 모든 상태가 $E_F$ 까지 채워지므로:

총 에너지:

E_0 = \int_0^{E_F} \epsilon\,g(\epsilon)\,d\epsilon = \frac{3}{5}NE_F

평균 에너지: $\langle\epsilon\rangle = \frac{3}{5}E_F$

페르미 압력 (축퇴 압력): $T = 0$ 에서도 0이 아닌 양의 압력이 존재한다.

P_0 = -\frac{\partial E_0}{\partial V} = \frac{2}{3}\frac{E_0}{V} = \frac{2}{5}nE_F

이 축퇴 압력이 백색왜성(white dwarf)을 중력 붕괴로부터 지탱하는 힘이다. 찬드라세카르 질량 한계( $\sim 1.4 M_\odot$ )를 넘으면 전자 축퇴 압력으로 중력을 이길 수 없다.

정의1.3좀머펠트 전개

$T \ll T_F$ 일 때, 열역학량을 $T/T_F$ 의 급수로 전개하는 것이 좀머펠트 전개(Sommerfeld expansion)이다.

일반 공식: $\phi(\epsilon)$ 가 매끄러운 함수일 때

\int_0^\infty f_{FD}(\epsilon)\,\phi(\epsilon)\,d\epsilon = \int_0^\mu \phi(\epsilon)\,d\epsilon + \frac{\pi^2}{6}(k_BT)^2\phi'(\mu) + \frac{7\pi^4}{360}(k_BT)^4\phi'''(\mu) + \cdots

이로부터:

화학 퍼텐셜:

\mu(T) = E_F\left[1 - \frac{\pi^2}{12}\left(\frac{T}{T_F}\right)^2 + \cdots\right]

내부에너지:

U = \frac{3}{5}NE_F + \frac{\pi^2}{4}\frac{Nk_B^2T^2}{E_F} + \cdots

전자 열용량:

C_V = \frac{\pi^2}{2}Nk_B\frac{T}{T_F} = \gamma T

여기서 $\gamma = \pi^2 Nk_B/(2T_F)$ 는 좀머펠트 계수이다.

참고파울리 상자성

자유 전자 기체에 외부 자기장 $B$ 를 인가하면, 스핀-업과 스핀-다운 전자의 에너지 분리:

\epsilon_\pm = \frac{\hbar^2k^2}{2m} \mp \mu_B B

$T = 0$ 에서의 자화:

M = \mu_B(N_+ - N_-) \approx \mu_B^2 g(E_F)B

파울리 자화율(Pauli susceptibility):

\chi_{\text{Pauli}} = \mu_0\mu_B^2 g(E_F) = \frac{3\mu_0 N\mu_B^2}{2E_F}

이 값은 고전적 결과(큐리 자화율 $\chi \propto 1/T$ )보다 $T/T_F$ 인자만큼 작다. 이는 페르미면 근처의 전자만이 자기장에 응답할 수 있기 때문이다.

참고페르미 기체의 물리적 응용

페르미-디랙 통계가 본질적인 물리 계:

금속의 전도 전자: 자유 전자 모형의 기초. 전자 열용량 $C_e = \gamma T$ 는 저온에서 포논 기여 $C_{\text{ph}} \propto T^3$ 보다 지배적.
반도체: 밴드 구조와 결합하여 캐리어 분포를 결정. 도핑에 의한 $\mu$ 위치 조절.
중성자별: 핵물질 밀도( $\sim 10^{17}\,\text{kg/m}^3$ )에서 중성자의 축퇴 압력이 별을 지탱. 톨만-오펜하이머-볼코프 한계( $\sim 2$ - $3 M_\odot$ ).
원자핵: 핵자(양성자, 중성자)는 페르미온. 핵의 셸 모형은 페르미 기체를 출발점으로 한다.
극저온 원자 기체: 레이저 냉각으로 $^{40}\text{K}$ , $^6\text{Li}$ 등의 페르미 축퇴 기체 실현( $T/T_F \sim 0.05$ ).

페르미-디랙 분포 (Fermi-Dirac Distribution)