물리학 강의 노트

정의2.1보즈-아인슈타인 분포

동일한 보존(boson, 정수 스핀 입자)으로 구성된 계에서, 에너지 $\epsilon$ 인 단일 입자 상태의 평균 점유수:

\langle n(\epsilon)\rangle = f_{BE}(\epsilon) = \frac{1}{e^{\beta(\epsilon - \mu)} - 1}

핵심 성질:

세 가지 분포의 비교:

\langle n(\epsilon)\rangle = \frac{1}{e^{\beta(\epsilon - \mu)} + a}

| $a$ | 분포 | 적용 | |-----|------|------| | $+1$ | 페르미-디랙 | 페르미온 | | $-1$ | 보즈-아인슈타인 | 보존 | | $0$ | 맥스웰-볼츠만 | 고전적 극한 |

정의2.2보즈-아인슈타인 응축

보즈-아인슈타인 응축(Bose-Einstein condensation, BEC): 이상 보즈 기체에서 온도가 임계 온도 $T_c$ 이하로 내려가면, 거시적 수의 입자가 바닥상태( $\epsilon = 0$ )에 응축하는 현상.

임계 온도: 3차원 자유 보즈 기체에서

T_c = \frac{2\pi\hbar^2}{mk_B}\left(\frac{n}{\zeta(3/2)}\right)^{2/3}

여기서 $\zeta(3/2) \approx 2.612$ 는 리만 제타 함수이다.

응축 분율: $T < T_c$ 에서 바닥상태에 있는 입자의 비율:

\frac{N_0}{N} = 1 - \left(\frac{T}{T_c}\right)^{3/2}

$T = 0$ 에서 모든 입자가 바닥상태에 응축: $N_0/N = 1$ .

예제BEC의 열역학적 성질

$T < T_c$ 에서 이상 보즈 기체의 열역학량:

내부에너지:

U = \frac{3}{2}Nk_BT\frac{\zeta(5/2)}{\zeta(3/2)}\left(\frac{T}{T_c}\right)^{3/2}

열용량:

C_V = \frac{15}{4}Nk_B\frac{\zeta(5/2)}{\zeta(3/2)}\left(\frac{T}{T_c}\right)^{3/2} \quad (T < T_c)

$T = T_c$ 에서 $C_V$ 는 꺾임(cusp)을 보인다. $T > T_c$ 에서는 점진적으로 $\frac{3}{2}Nk_B$ (고전값)에 접근한다.

압력: $T < T_c$ 에서

P = \frac{\zeta(5/2)}{\lambda_{\text{th}}^3}k_BT

놀랍게도, 압력이 부피에 무관하다. 이는 응축된 입자들이 $\epsilon = 0$ 상태에 있어 압력에 기여하지 않기 때문이다.

참고BEC의 실험적 관측

1995년, 코넬(Cornell)과 위만(Wieman)이 $^{87}\text{Rb}$ 원자 기체에서 최초의 BEC를 관측했다 (노벨 물리학상, 2001).

실험 조건:

냉각 기법:

BEC와 관련된 물리 현상:

초유동(superfluidity): $^4\text{He}$ 의 $\lambda$ -전이 ( $T_\lambda = 2.17\,\text{K}$ )
초전도(superconductivity): 쿠퍼 쌍(Cooper pair)의 BEC적 응축
원자 레이저: BEC에서 결맞는 원자빔 생성

정의2.3포논 기체

결정 격자의 양자화된 진동 모드(포논, phonon)는 보존의 일종이다. 포논은 입자수가 보존되지 않으므로 $\mu = 0$ 이다.

포논의 평균 점유수:

\langle n(\omega)\rangle = \frac{1}{e^{\beta\hbar\omega} - 1}

데바이 모형(Debye model): 포논의 상태 밀도를 선형 분산 $\omega = v_s|\mathbf{k}|$ 와 데바이 차단 주파수 $\omega_D$ 로 근사:

g(\omega) = \frac{9N}{\omega_D^3}\omega^2 \quad (0 \leq \omega \leq \omega_D)

내부에너지:

U = 9Nk_BT\left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3\int_0^{\Theta_D/T}\frac{x^3}{e^x - 1}\,dx

여기서 $\Theta_D = \hbar\omega_D/k_B$ 는 데바이 온도이다.

고온 ( $T \gg \Theta_D$ ): $C_V \to 3Nk_B$ (뒤롱-프티)
저온 ( $T \ll \Theta_D$ ): $C_V = \frac{12\pi^4}{5}Nk_B\left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3$ (데바이 $T^3$ 법칙)

참고고전적 극한

$e^{\beta(\epsilon - \mu)} \gg 1$ (높은 온도, 낮은 밀도)에서:

f_{FD} = \frac{1}{e^{\beta(\epsilon-\mu)} + 1} \approx e^{-\beta(\epsilon-\mu)} \approx f_{BE} = \frac{1}{e^{\beta(\epsilon-\mu)} - 1}

두 양자 분포 모두 맥스웰-볼츠만 분포로 수렴한다.

조건: $n\lambda_{\text{th}}^3 \ll 1$ , 즉 입자간 평균 거리가 열적 드 브로이 파장보다 훨씬 클 때.

양자 보정의 첫째 항(군집 전개, cluster expansion):

\frac{PV}{Nk_BT} = 1 \pm \frac{1}{2^{5/2}}n\lambda_{\text{th}}^3 + \cdots

보즈-아인슈타인 분포 (Bose-Einstein Distribution)