물리학 강의 노트

정의3.1흑체

흑체(blackbody)란 입사하는 모든 전자기 복사를 완전히 흡수하는 이상적 물체이다. 흑체는 동시에 가장 효율적인 복사체이며, 방출하는 복사의 스펙트럼은 오직 온도에만 의존한다.

실험적 실현: 작은 구멍이 뚫린 공동(cavity). 구멍으로 들어간 빛은 내부에서 다중 반사되어 거의 완전히 흡수된다. 공동 내부의 복사는 벽과 열평형에 도달하여 흑체 스펙트럼을 형성한다.

키르히호프 법칙(Kirchhoff's law): 열평형에서 물체의 방출률(emissivity)과 흡수율(absorptivity)은 같다.

\frac{e_\nu(\nu, T)}{a_\nu(\nu, T)} = B_\nu(\nu, T)

여기서 $B_\nu$ 는 보편적인 흑체 복사 함수이다.

정의3.2전자기 모드

한 변의 길이가 $L$ 인 입방체 공동에서, 전자기파의 허용된 모드:

\mathbf{k} = \frac{\pi}{L}(n_x, n_y, n_z), \quad n_x, n_y, n_z = 1, 2, 3, \ldots

주파수 $\nu$ 에서 $\nu + d\nu$ 사이의 모드 수 (편광 2개 포함):

g(\nu)\,d\nu = \frac{8\pi V}{c^3}\nu^2\,d\nu

이것은 레일리-진스(Rayleigh-Jeans) 상태 밀도이며, 고전적으로 각 모드에 등분배를 적용하면:

u(\nu) = g(\nu) \cdot k_BT = \frac{8\pi\nu^2}{c^3}k_BT

이는 레일리-진스 공식이다. 이 공식은 $\nu \to \infty$ 에서 $u(\nu) \to \infty$ 가 되어 총 에너지가 발산한다:

U = \int_0^\infty u(\nu)\,d\nu = \infty \quad (\text{자외선 파탄!})

정의3.3플랑크 분포

플랑크(1900)는 각 모드의 에너지가 $\hbar\omega = h\nu$ 의 정수배로 양자화된다고 가정하여 자외선 파탄을 해결했다.

플랑크 스펙트럼 밀도 (단위 부피당, 단위 주파수당 에너지):

u(\nu, T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu/k_BT} - 1}

파장 $\lambda$ 로 표현하면:

u(\lambda, T) = \frac{8\pi hc}{\lambda^5}\frac{1}{e^{hc/(\lambda k_BT)} - 1}

극한 거동:

저주파 ( $h\nu \ll k_BT$ ): $u(\nu) \approx \frac{8\pi\nu^2}{c^3}k_BT$ (레일리-진스)
고주파 ( $h\nu \gg k_BT$ ): $u(\nu) \approx \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}e^{-h\nu/k_BT}$ (빈 복사 법칙)

정의3.4빈의 변위 법칙

흑체 스펙트럼의 피크 파장은 온도에 반비례한다.

\lambda_{\max} T = b = \frac{hc}{4.965\,k_B} \approx 2.898 \times 10^{-3}\,\text{m}\cdot\text{K}

주파수 표현에서의 피크:

\nu_{\max} = \frac{2.821\,k_BT}{h} \approx 5.88 \times 10^{10}\,T\,\text{Hz/K}

$\lambda_{\max}$ 에 대한 피크와 $\nu_{\max}$ 에 대한 피크는 일반적으로 $\lambda_{\max}\nu_{\max} \neq c$ 임에 주의. 이는 $u(\nu)d\nu = u(\lambda)|d\lambda|$ 의 야코비안 때문이다.

예제공동 복사의 열역학

에너지 밀도:

u(T) = \int_0^\infty u(\nu, T)\,d\nu = aT^4

여기서 $a = 4\sigma/c = 8\pi^5k_B^4/(15c^3h^3) \approx 7.566 \times 10^{-16}\,\text{J/(m}^3\cdot\text{K}^4\text{)}$

엔트로피 밀도:

s = \frac{4}{3}aT^3

복사 압력:

P_{\text{rad}} = \frac{u}{3} = \frac{a}{3}T^4

복사 압력이 $u/3$ 인 것은 광자 기체의 상태방정식 $PV = U/3$ 에 해당하며, 이는 광자가 질량이 없는 상대론적 입자이기 때문이다. 비상대론적 이상기체의 $PV = 2U/3$ 과 대비된다.

상태방정식:

PV = \frac{1}{3}U = \frac{a}{3}T^4 V

이는 광자 기체의 비열비가 $\gamma = 4/3$ 임을 의미한다.

참고CMB와 흑체 스펙트럼

우주 마이크로파 배경복사(Cosmic Microwave Background, CMB)는 빅뱅 후 약 38만 년에 방출된 흑체복사가 우주 팽창에 의해 적색편이된 것이다.

현재 온도: $T_{\text{CMB}} = 2.7255 \pm 0.0006\,\text{K}$

빈의 법칙에 의한 피크 파장: $\lambda_{\max} = 2.898 \times 10^{-3}/2.7255 \approx 1.063\,\text{mm}$ (마이크로파 대역)

COBE/FIRAS 위성 측정(1992)에 의해, CMB 스펙트럼은 지금까지 관측된 가장 완벽한 흑체임이 확인되었다. 온도 이방성은 $\Delta T/T \sim 10^{-5}$ 수준이며, 이는 초기 우주의 밀도 요동의 흔적이다.

광자 수 밀도: $n_\gamma = \frac{2\zeta(3)}{\pi^2}\left(\frac{k_BT}{\hbar c}\right)^3 \approx 411\,\text{cm}^{-3}$

에너지 밀도: $u = aT^4 \approx 4.2 \times 10^{-14}\,\text{J/m}^3 \approx 0.26\,\text{eV/cm}^3$

흑체복사 (Blackbody Radiation)