플랑크 분포 유도 (Planck Distribution Derivation)

1. 방법 1: 양자화된 조화진동자

유도양자 조화진동자로부터의 유도

가정: 진동수 $\nu$ 인 전자기파 모드는 에너지 $E_n = nh\nu$ ( $n = 0, 1, 2, \ldots$ )를 가진 양자 조화진동자와 동등하다. (영점에너지 $h\nu/2$ 는 관측 가능한 양에 기여하지 않으므로 생략.)

분배함수:

Z_\nu = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-n\beta h\nu} = \sum_{n=0}^{\infty} (e^{-\beta h\nu})^n = \frac{1}{1 - e^{-\beta h\nu}}

등비급수 $|r| < 1$ 에서 $\sum r^n = 1/(1-r)$ .

평균 에너지:

\langle E_\nu \rangle = -\frac{\partial \ln Z_\nu}{\partial \beta} = -\frac{\partial}{\partial\beta}\left[-\ln(1-e^{-\beta h\nu})\right]

= \frac{h\nu\,e^{-\beta h\nu}}{1 - e^{-\beta h\nu}} = \frac{h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1}

모드 밀도: 부피 $V$ 의 공동에서 주파수 $\nu$ 와 $\nu + d\nu$ 사이의 모드 수:

g(\nu)\,d\nu = \frac{8\pi V}{c^3}\nu^2\,d\nu

(편광 2, $k$ -공간의 $1/8$ 구의 부피)

에너지 스펙트럼 밀도:

u(\nu, T) = \frac{g(\nu)}{V}\langle E_\nu\rangle = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu/k_BT} - 1}

\boxed{u(\nu, T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu/k_BT} - 1}}

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2. 방법 2: 보즈-아인슈타인 통계

유도보즈-아인슈타인 통계로부터의 유도

광자는 스핀 1의 보존이므로, 보즈-아인슈타인 분포를 따른다. 광자의 수는 보존되지 않으므로 화학 퍼텐셜 $\mu = 0$ 이다.

열역학적 논증: 평형에서 자유에너지 $F$ 가 광자 수 $N$ 에 대해 극소:

\mu = \left(\frac{\partial F}{\partial N}\right)_{T,V} = 0

$\mu = 0$ 을 보즈-아인슈타인 분포에 대입:

\langle n(\epsilon)\rangle = \frac{1}{e^{\beta\epsilon} - 1}

각 모드의 에너지 $\epsilon = h\nu$ 이므로:

\langle n(\nu)\rangle = \frac{1}{e^{\beta h\nu} - 1}

이는 진동수 $\nu$ 인 모드의 평균 광자수이다.

평균 에너지 = 광자 에너지 $\times$ 평균 광자수:

\langle E_\nu\rangle = h\nu\langle n(\nu)\rangle = \frac{h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1}

모드 밀도를 곱하면 플랑크 분포를 얻는다.

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3. 방법 3: 플랑크의 원래 유도 (조합론적)

유도플랑크의 조합론적 유도

플랑크의 원래 방법(1900)은 통계역학적 조합론에 기반한다.

진동수 $\nu$ 인 $N_\nu$ 개의 진동자에 $M$ 개의 에너지 양자( $\epsilon = h\nu$ )를 분배하는 경우의 수:

W = \frac{(N_\nu + M - 1)!}{M!(N_\nu - 1)!} \approx \frac{(N_\nu + M)!}{M! \, N_\nu!}

볼츠만 엔트로피: $S = k_B \ln W$

스털링 근사를 적용하고, 평균 에너지 $\bar{E} = M h\nu / N_\nu$ 를 정의하면:

\frac{S}{N_\nu k_B} = \left(1 + \frac{\bar{E}}{h\nu}\right)\ln\left(1 + \frac{\bar{E}}{h\nu}\right) - \frac{\bar{E}}{h\nu}\ln\frac{\bar{E}}{h\nu}

$1/T = \partial S/\partial E$ 로부터:

\frac{1}{T} = \frac{k_B}{h\nu}\ln\left(1 + \frac{h\nu}{\bar{E}}\right)

$\bar{E}$ 에 대해 풀면:

\bar{E} = \frac{h\nu}{e^{h\nu/k_BT} - 1}

플랑크 분포를 회복한다.

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4. 적분 결과: 슈테판-볼츠만 법칙

유도슈테판-볼츠만 상수의 유도

총 에너지 밀도:

u(T) = \int_0^\infty u(\nu, T)\,d\nu = \frac{8\pi h}{c^3}\int_0^\infty \frac{\nu^3}{e^{h\nu/k_BT} - 1}\,d\nu

$x = h\nu/(k_BT)$ 로 치환:

u(T) = \frac{8\pi h}{c^3}\left(\frac{k_BT}{h}\right)^4\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1}\,dx

핵심 적분:

\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1}\,dx = \Gamma(4)\zeta(4) = 6 \cdot \frac{\pi^4}{90} = \frac{\pi^4}{15}

여기서 $\Gamma(4) = 3! = 6$ , $\zeta(4) = \pi^4/90$ 이다.

u(T) = \frac{8\pi^5 k_B^4}{15h^3c^3}T^4 = aT^4

복사 출력: $J = cu/4 = \sigma T^4$

\boxed{\sigma = \frac{2\pi^5 k_B^4}{15h^3c^2} = 5.670 \times 10^{-8}\,\text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4}}

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5. 빈의 변위 법칙 유도

유도빈의 변위 법칙

$u(\nu, T)$ 의 극대 조건: $\partial u/\partial \nu = 0$ .

$x = h\nu/(k_BT)$ 로 놓으면:

\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{x^3}{e^x - 1}\right] = 0

\frac{3x^2(e^x - 1) - x^3 e^x}{(e^x - 1)^2} = 0

3(e^x - 1) = xe^x \implies 3 - 3e^{-x} = x

이 초월 방정식의 수치 해: $x_{\max} \approx 2.821$

h\nu_{\max} = 2.821\,k_BT \implies \nu_{\max} = \frac{2.821\,k_BT}{h}

파장 표현에서는 $\partial u/\partial\lambda = 0$ 을 풀면 다른 초월 방정식 $5(1-e^{-y}) = y$ 를 얻고, $y_{\max} \approx 4.965$ 이므로:

\lambda_{\max} = \frac{hc}{4.965\,k_BT} \implies \lambda_{\max}T = \frac{hc}{4.965\,k_B} \approx 2.898 \times 10^{-3}\,\text{m}\cdot\text{K}

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6. 플랑크 분포에서 알 수 있는 기본 상수

참고흑체복사와 기본 상수

정밀한 흑체 스펙트럼 측정으로부터 다음 기본 상수들을 결정할 수 있다:

** $\sigma T^4$ (총 복사량)**에서: $\sigma$ 를 통해 $k_B^4/(h^3 c^2)$ 의 조합
** $\nu_{\max}/T$ (빈의 변위)**에서: $k_B/h$
스펙트럼 형태: $h$ 와 $k_B$ 를 개별적으로 결정

플랑크는 1901년에 흑체복사 데이터로부터 $h$ 와 $k_B$ 를 최초로 정밀하게 결정했다:

h = 6.55 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s} \quad (\text{현재값: } 6.626 \times 10^{-34})

k_B = 1.346 \times 10^{-23}\,\text{J/K} \quad (\text{현재값: } 1.381 \times 10^{-23})

이로부터 아보가드로 수 $N_A = R/k_B$ 와 기본 전하 $e$ 도 결정했으며, 당시 가장 정밀한 값이었다.