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물리학 강의 노트

법칙완성

플랑크 분포 (Planck Distribution Law)

1. 플랑크 분포 법칙

법칙5.1플랑크 분포 법칙

열평형 온도 TT에서 진동수 ν\nu인 전자기파 모드의 평균 에너지:

⟨E(ν,T)⟩=hνehν/kBT−1\langle E(\nu, T)\rangle = \frac{h\nu}{e^{h\nu/k_BT} - 1}

이는 진동수 ν\nu, 에너지 양자 hνh\nu인 양자 조화진동자(영점에너지 제외)의 평균 에너지이며, 동시에 보즈-아인슈타인 분포에서 μ=0\mu = 0인 경우와 같다.

스펙트럼 복사 휘도(spectral radiance):

Bν(ν,T)=2hν3c21ehν/kBT−1B_\nu(\nu, T) = \frac{2h\nu^3}{c^2}\frac{1}{e^{h\nu/k_BT} - 1}

단위: W⋅m−2⋅sr−1⋅Hz−1\text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{sr}^{-1}\cdot\text{Hz}^{-1}

2. 플랑크 분포의 유도 (양자 조화진동자)

유도양자 조화진동자로부터의 유도

진동수 ν\nu인 모드의 에너지가 En=nhνE_n = nh\nu (n=0,1,2,…n = 0, 1, 2, \ldots)로 양자화된다고 가정한다.

분배함수:

Z=∑n=0∞e−nβhν=11−e−βhνZ = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-n\beta h\nu} = \frac{1}{1 - e^{-\beta h\nu}}

평균 에너지:

⟨E⟩=−∂ln⁡Z∂β=hν e−βhν1−e−βhν=hνeβhν−1\langle E \rangle = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta} = \frac{h\nu\,e^{-\beta h\nu}}{1 - e^{-\beta h\nu}} = \frac{h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1}

모드의 상태 밀도 g(ν)=8πVν2/c3g(\nu) = 8\pi V\nu^2/c^3을 곱하면:

u(ν,T)=g(ν)⋅⟨E⟩V=8πhν3c31ehν/kBT−1u(\nu, T) = g(\nu) \cdot \frac{\langle E\rangle}{V} = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu/k_BT} - 1}
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3. 극한 경우

정의5.1플랑크 분포의 극한

레일리-진스 극한 (hν≪kBTh\nu \ll k_BT, 저주파/고온):

ehν/kBT≈1+hνkBT  ⟹  ⟨E⟩≈kBTe^{h\nu/k_BT} \approx 1 + \frac{h\nu}{k_BT} \implies \langle E\rangle \approx k_BTu(ν)≈8πν2c3kBTu(\nu) \approx \frac{8\pi\nu^2}{c^3}k_BT

고전적 등분배와 일치한다.

빈 극한 (hν≫kBTh\nu \gg k_BT, 고주파/저온):

⟨E⟩≈hν e−hν/kBT\langle E\rangle \approx h\nu\,e^{-h\nu/k_BT}u(ν)≈8πhν3c3e−hν/kBTu(\nu) \approx \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}e^{-h\nu/k_BT}

지수적 감쇠로 자외선 파탄이 해소된다. 이것이 빈의 복사 법칙(1896)이며, 플랑크 이전에 경험적으로 알려져 있었다.

4. 플랑크 분포의 역사적 의의

참고양자론의 시작

1900년 12월 14일, 플랑크는 베를린 독일물리학회에서 흑체복사 공식을 발표했다. 이 날은 종종 양자론의 탄생일로 불린다.

플랑크의 핵심 가설: 진동수 ν\nu인 진동자의 에너지는 연속적이 아니라 hνh\nu의 정수배로 양자화되어 있다.

En=nhν,n=0,1,2,…E_n = nh\nu, \quad n = 0, 1, 2, \ldots

플랑크 상수: h=6.626×10−34 J⋅sh = 6.626 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}

이 가설은 처음에 수학적 "트릭"으로 여겨졌으나, 1905년 아인슈타인의 광전 효과 해석, 1913년 보어의 원자 모형 등을 통해 물리적 실재로 인정받게 되었다.

5. 평균 광자수와 에너지 요동

예제단일 모드의 광자 통계

진동수 ν\nu인 단일 모드에서:

평균 광자수:

⟨n⟩=1eβhν−1≡nˉ\langle n\rangle = \frac{1}{e^{\beta h\nu} - 1} \equiv \bar{n}

광자수 요동:

⟨(Δn)2⟩=⟨n2⟩−⟨n⟩2=nˉ(nˉ+1)\langle(\Delta n)^2\rangle = \langle n^2\rangle - \langle n\rangle^2 = \bar{n}(\bar{n} + 1)⟨(Δn)2⟩⟨n⟩2=1+1nˉ\frac{\langle(\Delta n)^2\rangle}{\langle n\rangle^2} = 1 + \frac{1}{\bar{n}}
  • nˉ≫1\bar{n} \gg 1 (고전적 극한): ⟨(Δn)2⟩≈nˉ2\langle(\Delta n)^2\rangle \approx \bar{n}^2 (상대적 요동이 1에 수렴, 고전적 파동 요동)
  • nˉ≪1\bar{n} \ll 1 (양자적 극한): ⟨(Δn)2⟩≈nˉ\langle(\Delta n)^2\rangle \approx \bar{n} (포아송 분포, 입자적 요동)

에너지 요동 (아인슈타인, 1909):

⟨(ΔE)2⟩=hν⟨E⟩+⟨E⟩2g(ν) dν\langle(\Delta E)^2\rangle = h\nu \langle E\rangle + \frac{\langle E\rangle^2}{g(\nu)\,d\nu}

첫째 항은 입자적 요동 (광자의 산탄 잡음), 둘째 항은 파동적 요동 (간섭에 의한 강도 변동)이다. 이는 빛의 파동-입자 이중성의 초기 증거이다.

6. 총 복사 에너지와 슈테판-볼츠만 법칙

정의5.2슈테판-볼츠만 법칙으로의 연결

플랑크 분포를 전 주파수에 대해 적분하면:

u(T)=∫0∞8πhν3c3dνehν/kBT−1u(T) = \int_0^\infty \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\frac{d\nu}{e^{h\nu/k_BT} - 1}

x=hν/(kBT)x = h\nu/(k_BT)로 치환하면:

u(T)=8π(kBT)4(hc)3∫0∞x3ex−1 dx=8π5(kBT)415(hc)3u(T) = \frac{8\pi(k_BT)^4}{(hc)^3}\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1}\,dx = \frac{8\pi^5(k_BT)^4}{15(hc)^3}

여기서 ∫0∞x3/(ex−1) dx=π4/15\int_0^\infty x^3/(e^x-1)\,dx = \pi^4/15을 사용했다.

복사의 에너지 유속(단위 면적, 반구 적분):

J=c4u(T)=σT4J = \frac{c}{4}u(T) = \sigma T^4σ=2π5kB415h3c2=5.670×10−8 W⋅m−2⋅K−4\sigma = \frac{2\pi^5k_B^4}{15h^3c^2} = 5.670 \times 10^{-8}\,\text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4}

이것이 슈테판-볼츠만 상수이며, 플랑크 분포로부터 이론적으로 유도된다.