물리학 강의 노트

법칙5.2슈테판-볼츠만 법칙

흑체가 단위 면적당, 단위 시간당 방출하는 총 복사 에너지(복사 출력, radiant exitance):

J = \sigma T^4

여기서 슈테판-볼츠만 상수:

\sigma = \frac{2\pi^5 k_B^4}{15h^3c^2} = 5.670374 \times 10^{-8}\,\text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4}

흑체가 아닌 일반 물체의 경우, 방사율(emissivity) $\varepsilon$ ( $0 \leq \varepsilon \leq 1$ )을 곱한다:

J = \varepsilon\sigma T^4

유도슈테판-볼츠만 법칙의 열역학적 유도

공동 복사의 열역학적 성질만으로 $u \propto T^4$ 를 유도할 수 있다(플랑크 분포 없이).

광자 기체의 상태방정식: $P = u/3$ (등방 복사)

맥스웰 관계식으로부터:

\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V - P

$U = uV$ , $P = u/3$ 을 대입:

u = T\frac{1}{3}\frac{du}{dT} - \frac{u}{3}

\frac{4u}{3} = \frac{T}{3}\frac{du}{dT}

\frac{du}{u} = 4\frac{dT}{T} \implies u = aT^4

여기서 $a$ 는 적분 상수이다. 열역학만으로는 $a$ 의 값을 결정할 수 없으며, 플랑크 분포의 적분 또는 실험으로부터

a = \frac{4\sigma}{c} = \frac{8\pi^5 k_B^4}{15(hc)^3}

를 얻는다.

■

정의5.3순 복사 전달

온도 $T_1$ 인 흑체가 온도 $T_2$ 인 환경 속에 있을 때, 순 복사 에너지 전달률:

\dot{Q}_{\text{net}} = A\sigma(T_1^4 - T_2^4)

여기서 $A$ 는 물체의 표면적이다.

두 무한 평행 평판(방사율 $\varepsilon_1$ , $\varepsilon_2$ ) 사이의 순 복사 전달:

\dot{Q} = \frac{A\sigma(T_1^4 - T_2^4)}{\dfrac{1}{\varepsilon_1} + \dfrac{1}{\varepsilon_2} - 1}

예제항성의 광도와 유효 온도

반지름 $R$ , 유효 표면 온도 $T_{\text{eff}}$ 인 항성의 총 광도(luminosity):

L = 4\pi R^2 \sigma T_{\text{eff}}^4

태양의 경우:

$L_\odot = 3.828 \times 10^{26}\,\text{W}$
$R_\odot = 6.957 \times 10^8\,\text{m}$
$T_{\text{eff},\odot} = \left(\frac{L_\odot}{4\pi R_\odot^2 \sigma}\right)^{1/4} \approx 5778\,\text{K}$

빈의 변위 법칙에 의한 피크 파장: $\lambda_{\max} = 2898/5778 \approx 502\,\text{nm}$ (가시광선, 녹색-노란색)

헤르츠스프룽-러셀 도표(H-R diagram)에서 항성은 $L$ - $T_{\text{eff}}$ 평면에 분포하며, 슈테판-볼츠만 법칙에 의해 등- $R$ 선이 기울기 4인 직선( $\log L = 4\log T + 2\log R + \text{const}$ )이 된다.

예제지구의 복사 평형 온도

태양 상수: $S = L_\odot/(4\pi d^2) \approx 1361\,\text{W/m}^2$ ( $d$ : 태양-지구 거리)

지구의 흡수 단면적 $\pi R_E^2$ , 반사도(albedo) $\alpha \approx 0.30$ :

\text{흡수율} = \pi R_E^2 (1-\alpha)S

복사 평형에서 흡수 = 방출:

\pi R_E^2(1-\alpha)S = 4\pi R_E^2 \sigma T_E^4

T_E = \left(\frac{(1-\alpha)S}{4\sigma}\right)^{1/4} = \left(\frac{0.70 \times 1361}{4 \times 5.67 \times 10^{-8}}\right)^{1/4} \approx 255\,\text{K}

이는 $-18\,^\circ\text{C}$ 이며, 실제 지구 평균 온도 $288\,\text{K}$ ( $+15\,^\circ\text{C}$ )보다 약 $33\,\text{K}$ 낮다. 이 차이가 온실 효과에 의한 것이다.

참고복사의 엔트로피

흑체복사의 엔트로피 밀도:

s = \frac{4}{3}aT^3 = \frac{4}{3}\frac{u}{T}

광자 기체의 단열 팽창: $TV^{1/3} = \text{const}$ , 즉 $T \propto V^{-1/3} \propto 1/L$ ( $L$ 은 특성 길이).

이는 우주 팽창에 적용된다. 우주의 스케일 인자가 $a(t)$ 일 때:

T(t) \propto \frac{1}{a(t)}

초기 우주의 온도 $T_0 \approx 3000\,\text{K}$ (재결합 시기, 적색편이 $z \approx 1100$ )에서 현재의 $T = 2.725\,\text{K}$ 로 냉각:

\frac{T_0}{T} = 1 + z \approx 1100

이 과정에서 광자의 수는 보존되고(비가역 과정이 없으므로), 엔트로피 $S \propto T^3 V \propto (1/a)^3 \cdot a^3 = \text{const}$ 도 보존된다.

슈테판-볼츠만 법칙 (Stefan-Boltzmann Law)

1. 법칙의 진술

2. 열역학적 유도

3. 순 복사 전달

4. 항성 물리학에의 적용

5. 복사 평형과 온실 효과

6. 복사 엔트로피