물리학 강의 노트

정의2.1이징 모형

이징 모형(Ising model)은 격자점 $i$ 에 놓인 스핀 변수 $S_i = \pm 1$ 로 기술되는 통계역학 모형이다.

해밀토니안:

H = -J\sum_{\langle i,j\rangle} S_i S_j - h\sum_i S_i

여기서:

$J$ : 교환 상호작용 상수 ( $J > 0$ : 강자성, $J < 0$ : 반강자성)
$\langle i,j\rangle$ : 최근접 이웃 쌍의 합
$h$ : 외부 자기장 ( $h = \mu_B B_{\text{ext}}$ )

대칭성: $h = 0$ 일 때 $S_i \to -S_i$ 의 전역적 $Z_2$ 대칭.

분배함수:

Z = \sum_{\{S_i\}} e^{-\beta H} = \sum_{S_1=\pm1}\sum_{S_2=\pm1}\cdots\sum_{S_N=\pm1} e^{\beta J\sum_{\langle i,j\rangle}S_iS_j + \beta h\sum_i S_i}

$N$ 개 스핀에 대해 $2^N$ 개의 배위를 합산해야 하므로, 일반적으로 정확히 풀기 매우 어렵다.

예제1차원 이징 모형의 엄밀해

$N$ 개의 스핀이 1차원 사슬을 이루고 주기적 경계조건( $S_{N+1} = S_1$ )을 가정하면, 전달 행렬(transfer matrix) 방법으로 엄밀하게 풀 수 있다.

전달 행렬:

\mathbf{T} = \begin{pmatrix} e^{\beta(J+h)} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta(J-h)} \end{pmatrix}

분배함수:

Z = \text{Tr}(\mathbf{T}^N) = \lambda_+^N + \lambda_-^N

여기서 $\lambda_\pm$ 은 $\mathbf{T}$ 의 고유값:

\lambda_\pm = e^{\beta J}\cosh(\beta h) \pm \sqrt{e^{2\beta J}\sinh^2(\beta h) + e^{-2\beta J}}

$h = 0$ 일 때:

\lambda_+ = 2\cosh(\beta J), \quad \lambda_- = 2\sinh(\beta J)

열역학적 극한에서 $Z \approx \lambda_+^N$ 이므로:

f = -k_BT\ln\lambda_+ = -k_BT\ln[2\cosh(\beta J)]

결과: 1차원 이징 모형은 $h = 0$ , $T > 0$ 에서 상전이가 없다. 자화 $M = 0$ ( $T > 0$ ). 이는 도메인 벽의 엔트로피 이득이 에너지 비용을 항상 상쇄하기 때문이다.

정의2.2평균장 이론

평균장 근사(mean-field approximation): 각 스핀이 경험하는 실효 장을 이웃 스핀들의 평균값 $m = \langle S_i\rangle$ 로 대체한다.

S_j \approx m + (S_j - m) \implies S_iS_j \approx mS_i + mS_j - m^2

실효 해밀토니안:

H_{\text{MF}} = -\sum_i (zJm + h)S_i + \frac{NzJm^2}{2}

여기서 $z$ 는 최근접 이웃 수 (배위수)이다.

자기일관 방정식(self-consistent equation):

m = \tanh\left(\beta(zJm + h)\right)

$h = 0$ 일 때:

m = \tanh(\beta zJm)

임계 온도:

k_BT_c^{\text{MF}} = zJ

$T < T_c$ 에서 $m \neq 0$ (자발적 자화), $T > T_c$ 에서 $m = 0$ .

$T \lesssim T_c$ 에서: $m \propto (T_c - T)^{1/2}$ , 즉 $\beta = 1/2$ .

참고온사거의 엄밀해

1944년 온사거(Onsager)는 $h = 0$ 인 2차원 정방격자 이징 모형을 정확히 풀었다. 이는 통계역학에서 가장 위대한 업적 중 하나이다.

엄밀한 임계 온도:

\sinh\left(\frac{2J}{k_BT_c}\right) = 1 \implies \frac{k_BT_c}{J} = \frac{2}{\ln(1+\sqrt{2})} \approx 2.269

비교: 평균장 ( $z = 4$ ): $k_BT_c^{\text{MF}}/J = 4$ (76% 과대 평가)

자발적 자화 (Yang, 1952):

M = \begin{cases} \left[1 - \sinh^{-4}(2\beta J)\right]^{1/8} & T < T_c \\ 0 & T > T_c \end{cases}

따라서 $\beta = 1/8$ (평균장의 $1/2$ 과 다름).

비열 (온사거):

C \sim -\ln|T - T_c| \quad (T \to T_c)

비열이 로그 발산한다. 임계지수 $\alpha = 0$ (로그 보정).

참고격자 기체와의 동치성

이징 모형은 변수 변환 $n_i = (S_i + 1)/2 \in \{0, 1\}$ 를 통해 격자 기체(lattice gas) 모형과 동치이다.

격자 기체 해밀토니안:

H_{\text{LG}} = -\epsilon\sum_{\langle i,j\rangle} n_i n_j - \mu'\sum_i n_i

여기서 $\epsilon = 4J$ , $\mu' = 2zJ + h$ .

이 대응관계에 의해:

강자성 상전이 $\leftrightarrow$ 기체-액체 상전이
자화 $m$ $\leftrightarrow$ 밀도 $\rho - \rho_c$
외부 자기장 $h$ $\leftrightarrow$ 화학 퍼텐셜 $\mu - \mu_c$
임계점 $T_c$ $\leftrightarrow$ 임계점

따라서 이징 모형의 임계지수는 기체-액체 임계점의 임계지수와 같다 (보편성).

참고몬테카를로 시뮬레이션

엄밀해가 알려지지 않은 경우(3차원, $h \neq 0$ 등), 몬테카를로 시뮬레이션(Monte Carlo simulation)이 강력한 도구이다.

메트로폴리스 알고리즘(Metropolis algorithm, 1953):

임의의 스핀 $S_i$ 를 선택한다.
스핀을 뒤집었을 때의 에너지 변화 $\Delta E$ 를 계산한다.
$\Delta E \leq 0$ 이면 뒤집기를 수용한다.
$\Delta E > 0$ 이면 확률 $e^{-\beta\Delta E}$ 로 수용한다.

이징 모형에서 단일 스핀 뒤집기의 에너지 변화:

\Delta E = 2S_i\left(J\sum_{j \in \text{nn}(i)} S_j + h\right)

유한 크기 스케일링(finite-size scaling)과 결합하여 임계지수를 높은 정밀도로 추출할 수 있다.

3차원 이징 모형의 임계지수 (몬테카를로 + 재정규화 군):

$\beta \approx 0.3265$
$\gamma \approx 1.2372$
$\nu \approx 0.6301$
$\alpha \approx 0.110$

이징 모형 (Ising Model)

1. 모형의 정의

2. 1차원 이징 모형

3. 평균장 근사

4. 2차원 이징 모형: 온사거 엄밀해

5. 이징 모형의 이중성과 보편성

6. 수치적 방법