물리학 강의 노트

정의3.1란다우 자유에너지

란다우 이론(Landau theory, 1937)은 상전이를 질서 변수 $\phi$ 의 자유에너지 전개로 기술하는 현상론적 이론이다.

전이점 근방에서 $\phi$ 가 작다고 가정하고, 자유에너지를 $\phi$ 의 거듭제곱으로 전개한다:

F(T, \phi) = F_0(T) + a(T)\phi^2 + b(T)\phi^4 + \cdots - h\phi

여기서:

대칭성 요구: $Z_2$ 대칭 ( $\phi \to -\phi$ )이 있으면 홀수 차수 항이 없다 ( $h = 0$ 일 때).

유도2차 상전이 분석

$h = 0$ 일 때 자유에너지: $F = F_0 + a_0(T - T_c)\phi^2 + b\phi^4$

평형 조건 $\partial F/\partial\phi = 0$ :

2a_0(T-T_c)\phi + 4b\phi^3 = 0

\phi\left[a_0(T-T_c) + 2b\phi^2\right] = 0

해:

\phi = 0 \quad (\text{모든 } T) \qquad \text{또는} \qquad \phi^2 = -\frac{a_0(T-T_c)}{2b} \quad (T < T_c)

$T > T_c$ : $\phi = 0$ 만 극소 (무질서 상)

$T < T_c$ : $\phi = \pm\sqrt{a_0(T_c - T)/(2b)}$ (질서 상, 이중 축퇴)

\phi \propto (T_c - T)^{1/2} \implies \beta_{\text{MF}} = \frac{1}{2}

■

정의3.2평균장 임계지수

란다우 이론(평균장)에서의 임계지수들:

질서 변수 ( $h = 0$ , $T < T_c$ ):

\phi \propto |t|^\beta, \quad \beta = \frac{1}{2} \qquad (t \equiv (T-T_c)/T_c)

감수율 ( $h = 0$ ):

\chi = \frac{1}{2a_0|T-T_c|} \propto |t|^{-\gamma}, \quad \gamma = 1

비열 ( $h = 0$ ): $T_c$ 에서 불연속 점프

\Delta C = C(T_c^-) - C(T_c^+) = \frac{a_0^2 T_c}{2b}

\alpha = 0 \quad (\text{불연속, 발산 아님})

임계 등온선 ( $T = T_c$ ):

h = 4b\phi^3 \implies \phi \propto h^{1/\delta}, \quad \delta = 3

정의3.31차 상전이

$\phi^3$ 항이 대칭에 의해 금지되지 않는 경우(또는 $\phi^6$ 까지 전개가 필요한 경우):

F = F_0 + a\phi^2 - c\phi^3 + b\phi^4

또는 $b < 0$ 이고 $\phi^6$ 항으로 안정화하는 경우:

F = F_0 + a\phi^2 + b\phi^4 + d\phi^6 \qquad (b < 0, \, d > 0)

이 경우, 온도가 내려감에 따라 $F(\phi)$ 는 두 개의 극소를 가지게 되며, 전이 온도에서 두 극소의 자유에너지가 같아진다.

1차 전이의 특징:

정의3.4긴즈부르크 기준

란다우 이론(평균장)의 유효성 조건은 요동이 평균값에 비해 작아야 한다는 것이다.

긴즈부르크 기준(Ginzburg criterion): 상관 부피 $\xi^d$ 내의 질서 변수 요동이 평균값의 제곱보다 작아야 한다.

\langle(\Delta\phi)^2\rangle_\xi \ll \langle\phi\rangle^2

이를 통해, 평균장이 유효한 조건:

|t| \gg t_G = \left(\frac{k_BT_c}{b\xi_0^d}\right)^{2/(4-d)}

여기서 $d$ 는 공간 차원, $\xi_0$ 는 미시적 상관 길이이다.

상위 임계 차원(upper critical dimension): $d_c = 4$

실제 3차원 계에서 $t_G$ 는 보통 매우 작으므로( $10^{-2}$ - $10^{-6}$ ), 임계점에서 충분히 멀면 란다우 이론이 좋은 근사이다.

참고공간적 비균일성의 포함

질서 변수가 공간적으로 변할 때, 란다우-긴즈부르크 자유에너지 범함수(Landau-Ginzburg free energy functional):

F[\phi] = \int d^d\mathbf{r}\left[\frac{1}{2}\kappa|\nabla\phi|^2 + a\phi^2 + b\phi^4 - h\phi\right]

$\kappa|\nabla\phi|^2$ 항은 질서 변수의 공간적 변화에 대한 강성(stiffness)을 나타낸다.

상관 함수:

G(\mathbf{r}) = \langle\phi(\mathbf{r})\phi(\mathbf{0})\rangle - \langle\phi\rangle^2

가우스 근사에서:

G(\mathbf{r}) \sim \frac{e^{-r/\xi}}{r^{(d-2)/2}}

상관 길이(correlation length):

\xi = \sqrt{\frac{\kappa}{2a_0|T - T_c|}} \propto |t|^{-\nu}, \quad \nu_{\text{MF}} = \frac{1}{2}

$T \to T_c$ 에서 $\xi \to \infty$ (임계 발산). 상관 길이의 발산은 2차 상전이의 가장 근본적인 특성이며, 임계점에서 계가 스케일 불변(scale invariant)해짐을 의미한다.

란다우 이론 (Landau Theory)