물리학 강의 노트

정의4.1기본 임계지수

2차 (연속) 상전이의 임계점 근방에서 열역학량의 멱법칙(power-law) 거동을 기술하는 지수들이다. 환산 온도 $t = (T - T_c)/T_c$ 를 사용한다.

| 기호 | 정의 | 물리량 | |------|------|--------| | $\alpha$ | $C \sim \|t\|^{-\alpha}$ | 비열 | | $\beta$ | $\phi \sim (-t)^\beta$ ( $t < 0$ ) | 질서 변수 | | $\gamma$ | $\chi \sim \|t\|^{-\gamma}$ | 감수율 | | $\delta$ | $h \sim \phi^\delta$ ( $t = 0$ ) | 임계 등온선 | | $\nu$ | $\xi \sim \|t\|^{-\nu}$ | 상관 길이 | | $\eta$ | $G(r) \sim 1/r^{d-2+\eta}$ ( $t = 0$ ) | 상관 함수 |

$\alpha$ , $\gamma$ , $\nu$ 는 $T_c$ 의 양쪽에서 정의되며, 일반적으로 같은 지수이지만 비례 상수(진폭)는 다를 수 있다.

법칙6.1임계지수 스케일링 관계

여섯 개의 임계지수는 독립이 아니며, 네 가지 스케일링 관계(scaling relations)로 연결된다.

러시브루크 관계 (Rushbrooke):

\alpha + 2\beta + \gamma = 2

위돔 관계 (Widom):

\gamma = \beta(\delta - 1)

피셔 관계 (Fisher):

\gamma = (2 - \eta)\nu

요세핀 관계 (Josephson, 초스케일링):

2 - \alpha = d\nu

여기서 $d$ 는 공간 차원이다. 요세핀 관계는 공간 차원이 명시적으로 들어가는 유일한 관계식이며, 이를 초스케일링 관계(hyperscaling relation)라 한다.

따라서 독립적인 임계지수는 두 개뿐이다 (예: $\nu$ 와 $\eta$ ).

정의4.2보편성 원리

보편성(universality): 임계지수는 계의 미시적 세부사항(격자 구조, 상호작용의 세부 형태 등)에 무관하고, 오직 다음에만 의존한다:

공간 차원 $d$
질서 변수의 성분 수 $n$ (대칭성)
상호작용의 범위 (단거리/장거리)

같은 $(d, n)$ 을 공유하는 계들은 같은 보편성 류(universality class)에 속하며, 동일한 임계지수를 가진다.

| 보편성 류 | $n$ | 물리적 예 | |----------|-----|---------| | 이징 | $1$ | 일축 강자성체, 격자 기체, 이성분 혼합물 | | $XY$ | $2$ | 평면 자성체, 초유동 $^4$ He, 초전도 | | 하이젠베르크 | $3$ | 등방 강자성체 | | 자기회피 걷기 | $0$ | 고분자 | | 퍼콜레이션 | — | 임의 연결 네트워크 |

참고다양한 보편성 류의 임계지수

$d = 3$ 에서의 임계지수 비교:

| 지수 | 평균장 | 3D 이징 ( $n=1$ ) | 3D $XY$ ( $n=2$ ) | 3D 하이젠베르크 ( $n=3$ ) | |------|--------|----------------|-----------------|---------------------| | $\alpha$ | $0$ | $0.110$ | $-0.015$ | $-0.12$ | | $\beta$ | $1/2$ | $0.326$ | $0.348$ | $0.366$ | | $\gamma$ | $1$ | $1.237$ | $1.318$ | $1.396$ | | $\delta$ | $3$ | $4.789$ | $4.780$ | $4.783$ | | $\nu$ | $1/2$ | $0.630$ | $0.672$ | $0.707$ | | $\eta$ | $0$ | $0.036$ | $0.038$ | $0.035$ |

$d = 2$ , 이징 모형 (온사거 엄밀해):

\alpha = 0, \quad \beta = \frac{1}{8}, \quad \gamma = \frac{7}{4}, \quad \delta = 15, \quad \nu = 1, \quad \eta = \frac{1}{4}

스케일링 관계 검증: $\alpha + 2\beta + \gamma = 0 + 2(1/8) + 7/4 = 2$ $\checkmark$

정의4.3재정규화 군 개요

재정규화 군(renormalization group, RG)은 윌슨(Wilson, 1971)이 개발한 이론적 프레임워크로, 임계 현상을 체계적으로 다룬다 (1982년 노벨 물리학상).

핵심 아이디어: 블록 스핀 변환(block spin transformation)

스핀들을 블록으로 묶는다 (거칠게 만들기, coarse-graining)
짧은 파장 자유도를 적분하여 소거한다
재스케일링하여 원래의 격자 상수를 회복한다
유효 해밀토니안의 결합 상수가 어떻게 변하는지 추적한다

이 과정을 RG 변환 $\mathcal{R}$ 이라 하면, 결합 상수 공간에서의 흐름(RG flow)이 정의된다.

고정점(fixed point) $K^*$ : $\mathcal{R}(K^*) = K^*$

임계점은 RG 흐름의 고정점에 대응한다. 고정점 근방에서의 선형화가 임계지수를 결정한다.

\mathcal{R}(K^* + \delta K) = K^* + \Lambda\cdot\delta K

$\Lambda$ 의 고유값 $\lambda_i$ 와 스케일링 인자 $b$ 로부터:

y_i = \frac{\ln\lambda_i}{\ln b}

$y_i > 0$ : 적절한(relevant) 변수 (임계 거동에 영향)

$y_i < 0$ : 부적절한(irrelevant) 변수 (임계점 근방에서 소멸)

$y_i = 0$ : 한계적(marginal) 변수

참고$\epsilon$-전개와 정량적 예측

윌슨-피셔(Wilson-Fisher)의 $\epsilon$ -전개: 상위 임계 차원 $d_c = 4$ 에서 벗어난 정도 $\epsilon = 4 - d$ 를 소량 매개변수로 사용하여 임계지수를 체계적으로 계산한다.

$n$ -성분 $\phi^4$ 이론의 결과 (1차 $\epsilon$ 보정):

\eta = \frac{n+2}{2(n+8)^2}\epsilon^2 + \mathcal{O}(\epsilon^3)

\nu = \frac{1}{2} + \frac{n+2}{4(n+8)}\epsilon + \mathcal{O}(\epsilon^2)

\gamma = 1 + \frac{n+2}{2(n+8)}\epsilon + \mathcal{O}(\epsilon^2)

$d = 3$ ( $\epsilon = 1$ ), 이징 ( $n = 1$ ) 대입:

\nu = \frac{1}{2} + \frac{3}{36} \approx 0.583 \quad (\text{정확값: } 0.630)

\gamma = 1 + \frac{3}{18} \approx 1.167 \quad (\text{정확값: } 1.237)

$\epsilon = 1$ 은 "소량"이 아니므로 1차 근사는 부정확하지만, 고차 항과 파데 근사(Pade approximant), 보렐 합(Borel summation) 등의 재합산 기법을 사용하면 높은 정밀도의 임계지수를 얻을 수 있다.

최근에는 등각 부트스트랩(conformal bootstrap) 방법이 3D 이징의 임계지수를 세계 최고 정밀도로 결정하고 있다:

\nu = 0.6299709(40), \quad \eta = 0.0362978(20)

임계지수 (Critical Exponents)

1. 임계지수의 정의

2. 스케일링 관계

3. 보편성 (Universality)

4. 임계지수의 수치값

5. 재정규화 군

6. $\epsilon$ -전개