등각 군 (Conformal Group)

1. 등각 변환의 정의

$d$ 차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^{p,q}$ (여기서 $d = p + q$ ) 위의 등각 변환(conformal transformation)이란, 좌표 변환 $x^\mu \to x'^\mu(x)$ 하에서 계량 텐서가 국소적 스케일 인자(local scale factor)만큼 변하는 변환을 말한다:

g'_{\mu\nu}(x') = \Omega(x)\, g_{\mu\nu}(x)

여기서 $\Omega(x) > 0$ 은 시공간 점에 의존하는 양의 실수 함수이다. 등각 변환은 두 벡터 사이의 각도를 보존하지만, 길이는 일반적으로 보존하지 않는다.

정의1.1등각 군

$d$ 차원 시공간에서 등각 변환 전체의 집합은 군(group)을 이루며, 이를 등각 군(conformal group)이라 한다. $d \geq 3$ 인 경우 등각 군은 $\mathrm{SO}(p+1, q+1)$ 과 동형이며, 그 차원은

\dim\bigl[\mathrm{SO}(p+1, q+1)\bigr] = \frac{(d+1)(d+2)}{2}

이다.

2. 등각 군의 생성원

등각 군은 다음 네 종류의 변환으로 생성된다.

병진 (Translation): $P_\mu$ 에 의해 생성되며, $x^\mu \to x^\mu + a^\mu$ 로 $d$ 개의 매개변수를 갖는다.

로렌츠 변환 (Lorentz transformation): $M_{\mu\nu}$ 에 의해 생성되며, $x^\mu \to \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu$ 로 $d(d-1)/2$ 개의 매개변수를 갖는다.

팽창 (Dilatation): $D$ 에 의해 생성되며, $x^\mu \to \lambda\, x^\mu$ 로 $1$ 개의 매개변수를 갖는다.

특수 등각 변환 (Special conformal transformation, SCT): $K_\mu$ 에 의해 생성되며,

x^\mu \to \frac{x^\mu + b^\mu x^2}{1 + 2b \cdot x + b^2 x^2}

로 $d$ 개의 매개변수를 갖는다.

참고생성원의 개수

전체 생성원의 수를 세면 $d + \tfrac{d(d-1)}{2} + 1 + d = \tfrac{(d+1)(d+2)}{2}$ 개로, 이는 $\mathrm{SO}(p+1, q+1)$ 의 차원과 정확히 일치한다.

3. 등각 대수

생성원들 사이의 교환 관계(commutation relations)는 다음과 같다:

[D, P_\mu] = -i P_\mu, \qquad [D, K_\mu] = i K_\mu

[K_\mu, P_\nu] = 2i(\eta_{\mu\nu} D - M_{\mu\nu})

[M_{\mu\nu}, P_\rho] = i(\eta_{\nu\rho} P_\mu - \eta_{\mu\rho} P_\nu)

[M_{\mu\nu}, K_\rho] = i(\eta_{\nu\rho} K_\mu - \eta_{\mu\rho} K_\nu)

[M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}] = i(\eta_{\nu\rho} M_{\mu\sigma} - \eta_{\mu\rho} M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma} M_{\mu\rho} + \eta_{\mu\sigma} M_{\nu\rho})

정의1.2등각 대수

위의 교환 관계를 만족하는 리 대수를 등각 대수(conformal algebra) $\mathfrak{so}(p+1, q+1)$ 이라 한다. 이것은 등각 군의 리 대수이다.

4. $\mathrm{SO}(p+1,q+1)$ 과의 동형

등각 대수가 $\mathfrak{so}(p+1, q+1)$ 과 동형임을 명시적으로 보이기 위해 $(d+2)$ 차원 반대칭 생성원 $J_{AB}$ ( $A, B = 0, 1, \ldots, d+1$ )를 도입하자. 다음과 같은 식별을 통해 동형을 구성할 수 있다:

J_{\mu\nu} = M_{\mu\nu}, \qquad J_{\mu, d} = \frac{1}{2}(P_\mu - K_\mu)

J_{\mu, d+1} = \frac{1}{2}(P_\mu + K_\mu), \qquad J_{d, d+1} = D

이 식별 하에서 $J_{AB}$ 는 $\mathfrak{so}(p+1, q+1)$ 의 표준 교환 관계를 만족한다:

[J_{AB}, J_{CD}] = i(\eta_{BC} J_{AD} - \eta_{AC} J_{BD} - \eta_{BD} J_{AC} + \eta_{AD} J_{BC})

5. 유한 차원에서의 등각 군

참고차원에 따른 등각 군의 구조

$d \geq 3$ 에서 등각 군은 유한 차원 리 군 $\mathrm{SO}(p+1, q+1)$ 이다. 그러나 $d = 2$ 에서는 상황이 근본적으로 달라진다. 2차원 등각 변환의 조건은 코시-리만 방정식(Cauchy–Riemann equations)으로 환원되므로, 모든 정칙 함수(holomorphic function)가 등각 변환을 정의한다. 따라서 2차원 등각 대수는 무한 차원이 된다. 이 무한 차원 대수가 바로 비트 대수(Witt algebra), 또는 그 중심 확장인 비라소로 대수(Virasoro algebra)이다.

특히 $d = 2$ , 유클리드 부호 $(p, q) = (2, 0)$ 인 경우, 전역적(global) 등각 군은 $\mathrm{SO}(3,1) \cong \mathrm{SL}(2, \mathbb{C})/\mathbb{Z}_2$ 이며, 이는 뫼비우스 변환(Mobius transformation)

z \to \frac{az + b}{cz + d}, \qquad ad - bc = 1

으로 작용한다. 이 전역적 등각 군은 $\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})$ 의 6개 실수 매개변수를 갖는다.

6. 물리적 의의

등각 대칭은 질량 척도가 없는 이론, 즉 스케일 불변인 양자장론에서 자연스럽게 나타난다. 임계 현상(critical phenomena)에서 상전이점 근방의 통계역학 시스템은 상관 길이가 발산하면서 스케일 불변성을 획득하고, 많은 경우 이것이 완전한 등각 대칭으로 향상된다.

예제자유 스칼라장

질량이 없는 자유 스칼라장의 작용

S = \frac{1}{2}\int d^d x\, (\partial_\mu \phi)^2

은 $d$ 차원에서 등각 대칭을 갖는다. 스칼라장의 등각 차원(conformal dimension)은 $\Delta_\phi = (d-2)/2$ 이다. $d = 4$ 이면 $\Delta_\phi = 1$ 이고, $d = 2$ 이면 $\Delta_\phi = 0$ 이다.