등각 변환 (Conformal Transformations)

1. 무한소 등각 변환

좌표의 무한소 변환 $x^\mu \to x^\mu + \epsilon^\mu(x)$ 를 고려하자. 계량 텐서의 변화는

\delta g_{\mu\nu} = \partial_\mu \epsilon_\nu + \partial_\nu \epsilon_\mu

이다. 이 변환이 등각 변환이 되려면 $\delta g_{\mu\nu} = f(x)\, g_{\mu\nu}$ 를 만족해야 하므로,

\partial_\mu \epsilon_\nu + \partial_\nu \epsilon_\mu = \frac{2}{d}(\partial \cdot \epsilon)\, \eta_{\mu\nu}

를 얻는다. 여기서 $f(x) = \tfrac{2}{d}(\partial \cdot \epsilon)$ 이다.

정의2.1등각 킬링 방정식

위의 조건

\partial_\mu \epsilon_\nu + \partial_\nu \epsilon_\mu = \frac{2}{d}(\partial_\rho \epsilon^\rho)\, \eta_{\mu\nu}

을 등각 킬링 방정식(conformal Killing equation)이라 한다. 이 방정식의 해 $\epsilon^\mu(x)$ 를 등각 킬링 벡터(conformal Killing vector)라 부른다.

2. 등각 킬링 방정식의 풀이 ( $d \geq 3$ )

등각 킬링 방정식에 $\partial_\rho$ 를 작용시키고 다양한 수축을 취하면, $\epsilon^\mu(x)$ 가 $x$ 의 최대 2차 다항식임을 보일 수 있다:

\epsilon^\mu(x) = a^\mu + \omega^\mu{}_\nu x^\nu + \lambda x^\mu + b^\mu x^2 - 2(b \cdot x) x^\mu

각 항은 다음에 대응된다:

| 매개변수 | 변환 | 생성원 | 개수 | |----------|------|--------|------| | $a^\mu$ | 병진 | $P_\mu$ | $d$ | | $\omega_{\mu\nu} = -\omega_{\nu\mu}$ | 회전/로렌츠 | $M_{\mu\nu}$ | $d(d-1)/2$ | | $\lambda$ | 팽창 | $D$ | $1$ | | $b^\mu$ | 특수 등각 변환 | $K_\mu$ | $d$ |

유도등각 킬링 방정식으로부터의 유도

등각 킬링 방정식의 양변에 $\partial_\rho$ 를 취하면

\partial_\rho \partial_\mu \epsilon_\nu + \partial_\rho \partial_\nu \epsilon_\mu = \frac{2}{d}\, \eta_{\mu\nu}\, \partial_\rho \partial_\sigma \epsilon^\sigma

이 식에서 $(\rho, \mu)$ 와 $(\rho, \nu)$ 의 순환 치환을 취하고 더하면

2\partial_\mu \partial_\nu \epsilon_\rho = \frac{2}{d}\bigl(\eta_{\mu\nu}\partial_\rho + \eta_{\rho\mu}\partial_\nu + \eta_{\rho\nu}\partial_\mu - \frac{2}{d}\eta_{\mu\nu}\eta_{\rho\sigma}\partial^\sigma \cdot \text{(trace)}\bigr)(\partial \cdot \epsilon)

의 형태를 얻는다. $d \geq 3$ 이면 $\partial \cdot \epsilon$ 이 $x$ 의 1차 함수임이 따라 나오고, 이로부터 $\epsilon^\mu$ 가 $x$ 의 최대 2차 다항식이 된다.

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3. 유한 등각 변환

각 무한소 변환에 대응하는 유한 변환은 다음과 같다.

병진: $x'^\mu = x^\mu + a^\mu$ 이며, 스케일 인자 $\Omega = 1$ 이다.

회전/로렌츠: $x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu$ 이며, $\Omega = 1$ 이다.

팽창: $x'^\mu = \lambda\, x^\mu$ 이며, $\Omega = \lambda^2$ 이다.

특수 등각 변환(SCT):

x'^\mu = \frac{x^\mu + b^\mu x^2}{1 + 2b \cdot x + b^2 x^2}

이며, 스케일 인자는

\Omega(x) = (1 + 2b \cdot x + b^2 x^2)^{-2}

이다.

참고SCT의 기하학적 해석

특수 등각 변환은 반전(inversion) $I: x^\mu \to x^\mu/x^2$ , 그 뒤에 병진 $T_b: x^\mu \to x^\mu + b^\mu$ , 다시 반전 $I$ 를 적용한 것, 즉 $\text{SCT} = I \circ T_b \circ I$ 로 분해된다. 반전 자체는 등각 변환이지만 연결 성분의 항등원과 연결되지 않으므로 등각 군의 연속 부분에는 포함되지 않는다.

4. 등각 변환 하의 장의 변환

스핀이 없는 스칼라장 $\phi(x)$ 가 등각 차원 $\Delta$ 를 가지면, 유한 등각 변환 $x \to x'$ 하에서

\phi(x) \to \phi'(x') = \left|\frac{\partial x'}{\partial x}\right|^{-\Delta/d} \phi(x)

와 같이 변환된다. 여기서 $|\partial x'/\partial x|$ 는 야코비안의 절댓값이다.

정의2.2등각 차원과 스핀

등각장론에서 연산자는 팽창 생성원 $D$ 의 고유값인 등각 차원(conformal dimension, 또는 scaling dimension) $\Delta$ 와 회전 생성원 $M_{\mu\nu}$ 의 표현에 의해 결정되는 스핀(spin) $\ell$ 로 분류된다. 유니터리 이론에서 등각 차원은 유니터리 하한(unitarity bound)을 만족해야 한다.

5. 유니터리 하한

$d$ 차원 등각장론에서 유니터리성은 연산자의 등각 차원에 대해 하한을 부과한다.

스핀 $\ell = 0$ 인 스칼라 연산자의 경우:

\Delta \geq \frac{d-2}{2} \qquad (d \geq 3)

등호는 자유장일 때 달성된다. 스핀 $\ell \geq 1$ 인 경우:

\Delta \geq d - 2 + \ell

이 하한을 위반하는 연산자가 존재하면, 이론은 유니터리가 아니거나 해당 연산자가 영 연산자(null operator)가 되어야 한다.

예제에너지-운동량 텐서

에너지-운동량 텐서 $T_{\mu\nu}$ 는 스핀 $\ell = 2$ 의 연산자이며, 보존 조건 $\partial^\mu T_{\mu\nu} = 0$ 에 의해 그 등각 차원은 정확히 $\Delta = d$ 로 고정된다. 이는 유니터리 하한 $\Delta \geq d$ 를 포화시킨다.

6. 등각 변환과 워드 항등식

등각 대칭은 상관 함수에 대한 워드 항등식(Ward identity)을 부과한다. 무한소 등각 변환의 생성원 $G$ 에 대해

\langle \delta_G \mathcal{O}_1(x_1) \cdots \mathcal{O}_n(x_n) \rangle = \sum_{i=1}^n \langle \mathcal{O}_1(x_1) \cdots (\delta_G \mathcal{O}_i(x_i)) \cdots \mathcal{O}_n(x_n) \rangle = 0

이 성립한다. 이 조건은 상관 함수의 형태를 매우 강하게 제한한다. 특히 2점 함수와 3점 함수는 등각 대칭만으로 (구조 상수를 제외하면) 완전히 결정된다:

\langle \mathcal{O}_i(x_1) \mathcal{O}_j(x_2) \rangle = \frac{C_{ij}\, \delta_{\Delta_i, \Delta_j}}{|x_1 - x_2|^{2\Delta_i}}

\langle \mathcal{O}_i(x_1) \mathcal{O}_j(x_2) \mathcal{O}_k(x_3) \rangle = \frac{C_{ijk}}{|x_{12}|^{\Delta_i + \Delta_j - \Delta_k} |x_{23}|^{\Delta_j + \Delta_k - \Delta_i} |x_{13}|^{\Delta_i + \Delta_k - \Delta_j}}

여기서 $x_{ij} = x_i - x_j$ 이다.