일차장 (Primary Fields)

1. 일차장의 정의

등각장론에서 연산자(장)는 등각 군의 표현에 따라 분류된다. 그중 가장 핵심적인 역할을 하는 것이 일차장(primary field)이다.

정의3.1일차장

등각 차원 $\Delta$ 와 로렌츠 표현(스핀) $\ell$ 을 갖는 국소 연산자 $\mathcal{O}(x)$ 가 일차 연산자(primary operator) 또는 일차장(primary field)이라 함은, 특수 등각 변환의 생성원 $K_\mu$ 에 의해 소멸됨을 의미한다:

[K_\mu, \mathcal{O}(0)] = 0

동시에 팽창 생성원과 로렌츠 생성원에 대해서는

[D, \mathcal{O}(0)] = -i\Delta\, \mathcal{O}(0), \qquad [M_{\mu\nu}, \mathcal{O}(0)] = \Sigma_{\mu\nu}\, \mathcal{O}(0)

를 만족한다. 여기서 $\Sigma_{\mu\nu}$ 는 적절한 로렌츠 표현의 생성원이다.

2. 후손장

일차장에 병진 생성원 $P_\mu = -i\partial_\mu$ 를 반복 적용하면 후손장(descendant field)을 얻는다:

\partial_{\mu_1} \partial_{\mu_2} \cdots \partial_{\mu_n} \mathcal{O}(x)

후손장의 등각 차원은 $\Delta + n$ 이다. 일차장과 그 모든 후손장을 합쳐 등각 족(conformal family) 또는 등각 다중항(conformal multiplet)이라 한다.

정의3.2등각 족

일차장 $\mathcal{O}$ 와 그 모든 후손장 $\{P_{\mu_1} \cdots P_{\mu_n} \mathcal{O}\}_{n=0}^{\infty}$ 의 모임을 등각 족(conformal family) 또는 등각 탑(conformal tower)이라 한다. 이는 등각 대수의 하나의 최고 무게 표현(highest-weight representation)을 이룬다. 등각장론의 힐베르트 공간은 이러한 등각 족들의 직합으로 분해된다.

3. 상태-연산자 대응

등각장론에서는 상태-연산자 대응(state-operator correspondence)이 성립한다. 이는 $\mathbb{R}^d$ 위의 연산자와 $S^{d-1} \times \mathbb{R}$ (래디얼 양자화) 위의 상태 사이의 일대일 대응이다.

\mathcal{O}(0) |0\rangle = |\Delta, \ell\rangle

여기서 $|0\rangle$ 은 등각 불변 진공이고, $|\Delta, \ell\rangle$ 은 래디얼 양자화에서의 상태이다.

참고래디얼 양자화

$\mathbb{R}^d$ 에서 원점으로부터의 거리 $r = |x|$ 를 시간 좌표 $\tau = \ln r$ 로 재해석하면, 동일 반경의 구면 $S^{d-1}$ 이 동일 시각의 공간 슬라이스가 된다. 팽창 $D$ 는 시간 병진으로 환원되므로 해밀토니안 역할을 하며, $\Delta$ 가 에너지에 대응된다. 일차장 조건 $[K_\mu, \mathcal{O}(0)] = 0$ 은 $|\Delta, \ell\rangle$ 이 내림 연산자(lowering operator)에 의해 소멸되는 최고 무게 상태(highest-weight state)임에 대응된다.

4. 일차장의 변환 법칙

일차장 $\mathcal{O}(x)$ 가 스칼라( $\ell = 0$ )인 경우, 유한 등각 변환 $x \to x'$ 하에서

\mathcal{O}(x) \to \mathcal{O}'(x') = \left|\frac{\partial x'}{\partial x}\right|^{-\Delta/d} \mathcal{O}(x)

와 같이 변환된다. 스핀을 갖는 경우에는 추가로 로렌츠 변환 행렬이 곱해진다. 예를 들어 벡터 일차장 $V_\mu$ 의 경우

V_\mu(x) \to V'_\mu(x') = \left|\frac{\partial x'}{\partial x}\right|^{-(\Delta-1)/d} \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu}\, V_\nu(x)

이다.

특히 각각의 무한소 변환에 대해:

병진: $\delta_P \mathcal{O} = -i \partial_\mu \mathcal{O}$

팽창: $\delta_D \mathcal{O} = -i(\Delta + x^\mu \partial_\mu) \mathcal{O}$

SCT: $\delta_{K_\mu} \mathcal{O} = -i(2\Delta x_\mu + 2x_\mu x^\nu \partial_\nu - x^2 \partial_\mu) \mathcal{O}$

5. 상관 함수에 대한 귀결

등각 대칭과 일차장의 변환 법칙은 상관 함수의 형태를 매우 강하게 제한한다.

2점 함수: 스칼라 일차장의 경우

\langle \mathcal{O}_i(x_1) \mathcal{O}_j(x_2) \rangle = \frac{C_{\mathcal{O}_i}\, \delta_{ij}}{|x_{12}|^{2\Delta_i}}

동일한 등각 차원을 갖는 연산자 사이에서만 0이 아닌 2점 함수가 존재한다.

3점 함수: 스칼라 일차장 세 개의 3점 함수는

\langle \mathcal{O}_1(x_1) \mathcal{O}_2(x_2) \mathcal{O}_3(x_3) \rangle = \frac{C_{123}}{|x_{12}|^{\Delta_1+\Delta_2-\Delta_3}|x_{23}|^{\Delta_2+\Delta_3-\Delta_1}|x_{13}|^{\Delta_1+\Delta_3-\Delta_2}}

이며, 미정 상수는 OPE 계수(operator product expansion coefficient) $C_{123}$ 하나뿐이다.

4점 함수: 4점 함수부터는 등각 대칭만으로 완전히 결정되지 않으며, 등각 교차비(conformal cross-ratios)라 불리는 독립 변수가 등장한다:

u = \frac{x_{12}^2 x_{34}^2}{x_{13}^2 x_{24}^2}, \qquad v = \frac{x_{14}^2 x_{23}^2}{x_{13}^2 x_{24}^2}

4점 함수는 이 교차비의 임의 함수를 포함하게 된다.

예제자유 스칼라장의 일차장

$d$ 차원 자유 질량 없는 스칼라장 $\phi(x)$ 는 등각 차원 $\Delta = (d-2)/2$ 를 갖는 일차장이다. 이로부터 구성되는 합성 연산자 $:\!\phi^2\!:$ 는 고전적으로는 $\Delta = d - 2$ 를 갖지만, 양자 보정에 의해 이상 차원(anomalous dimension) $\gamma$ 를 얻어 $\Delta = d - 2 + \gamma$ 가 된다. 상호작용이 없는 자유 이론에서는 $\gamma = 0$ 이다.

6. 준일차장과의 구별

2차원 등각장론에서는 일차장(primary field)과 준일차장(quasi-primary field)을 구별해야 한다.

정의3.3준일차장

준일차장(quasi-primary field)이란 전역적 등각 군 $\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})$ 의 생성원 $\{L_{-1}, L_0, L_1\}$ 하에서 일차장처럼 변환하는 장을 말한다. 즉 $L_1 |\phi\rangle = 0$ 을 만족한다. 반면 일차장은 전체 비라소로 대수의 모든 양의 모드 $L_n$ ( $n > 0$ )에 의해 소멸되는 장이다:

L_n |\phi\rangle = 0 \quad \text{for all } n > 0

모든 일차장은 준일차장이지만, 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 에너지-운동량 텐서 $T(z)$ 는 $c \neq 0$ 인 이론에서 준일차장이지만 일차장은 아니다.