정칙·반정칙 분리 (Holomorphic-Antiholomorphic Factorization)

1. 2차원에서의 복소 좌표

2차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^2$ 에서 좌표 $(x^0, x^1)$ 를 복소 좌표로 변환하자:

z = x^0 + ix^1, \qquad \bar{z} = x^0 - ix^1

계량 텐서는

ds^2 = (dx^0)^2 + (dx^1)^2 = dz\, d\bar{z}

가 되며, 비영(non-zero) 성분은 $g_{z\bar{z}} = g_{\bar{z}z} = \tfrac{1}{2}$ 이다.

정의4.1정칙·반정칙 좌표

2차원 유클리드 등각장론에서 정칙 좌표(holomorphic coordinate) $z$ 와 반정칙 좌표(antiholomorphic coordinate) $\bar{z}$ 는 형식적으로 독립된 복소 변수로 취급된다. 물리적 공간은 $\bar{z} = z^*$ 조건으로 복원된다.

2. 2차원 등각 변환의 무한 차원 대칭

$d = 2$ 에서 등각 킬링 방정식은 코시-리만 방정식으로 환원된다. 따라서 모든 정칙 변환

z \to w(z), \qquad \bar{z} \to \bar{w}(\bar{z})

이 등각 변환이 된다. 정칙 함수와 반정칙 함수의 공간은 각각 무한 차원이므로, 2차원의 국소적 등각 대칭은 무한 차원이다.

무한소 변환 $z \to z + \epsilon(z)$ 를 로랑 전개하면

\epsilon(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \epsilon_n\, z^{n+1}

각 모드 $\epsilon_n z^{n+1}$ 에 대응하는 생성원을

\ell_n = -z^{n+1}\partial_z, \qquad \bar{\ell}_n = -\bar{z}^{n+1}\partial_{\bar{z}}

로 정의하면, 이들은 다음의 교환 관계를 만족한다:

[\ell_m, \ell_n] = (m-n)\ell_{m+n}, \qquad [\bar{\ell}_m, \bar{\ell}_n] = (m-n)\bar{\ell}_{m+n}, \qquad [\ell_m, \bar{\ell}_n] = 0

정의4.2비트 대수

위의 교환 관계를 만족하는 리 대수를 비트 대수(Witt algebra)라 한다. 2차원의 국소적 등각 대수는 두 개의 독립적인 비트 대수의 직합 $\mathfrak{Witt} \oplus \overline{\mathfrak{Witt}}$ 으로 분해된다. 이것이 정칙·반정칙 분리의 대수적 기원이다.

3. 에너지-운동량 텐서의 정칙·반정칙 분리

2차원에서 에너지-운동량 텐서의 무대각(traceless) 조건 $T^\mu{}_\mu = 0$ 과 보존 법칙 $\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0$ 을 복소 좌표로 쓰면

T_{z\bar{z}} = 0, \qquad \partial_{\bar{z}} T_{zz} = 0, \qquad \partial_z T_{\bar{z}\bar{z}} = 0

을 얻는다. 이는 다음을 의미한다:

T(z) \equiv T_{zz}(z) \quad \text{는 순수 정칙}, \qquad \bar{T}(\bar{z}) \equiv T_{\bar{z}\bar{z}}(\bar{z}) \quad \text{는 순수 반정칙}

참고정칙 분리의 물리적 의미

에너지-운동량 텐서가 정칙 부분 $T(z)$ 와 반정칙 부분 $\bar{T}(\bar{z})$ 로 완전히 분리된다는 사실은, 2차원 CFT에서 좌향 이동 모드(left-moving mode)와 우향 이동 모드(right-moving mode)가 독립적으로 진행함을 반영한다. 이는 2차원 CFT의 핵심적 특성이다.

4. 일차장의 등각 무게

2차원 CFT에서 일차장은 두 개의 독립적인 양으로 특성화된다.

정의4.3등각 무게

2차원 일차장 $\phi(z, \bar{z})$ 의 등각 무게(conformal weights) $(h, \bar{h})$ 는 다음과 같이 정의된다. 등각 변환 $z \to w(z)$ , $\bar{z} \to \bar{w}(\bar{z})$ 하에서

\phi(z, \bar{z}) \to \phi'(w, \bar{w}) = \left(\frac{dw}{dz}\right)^{-h} \left(\frac{d\bar{w}}{d\bar{z}}\right)^{-\bar{h}} \phi(z, \bar{z})

와 같이 변환되는 장을 등각 무게 $(h, \bar{h})$ 의 일차장이라 한다. 등각 차원과 스핀은

\Delta = h + \bar{h}, \qquad s = h - \bar{h}

로 주어진다.

5. 비라소로 생성원과의 관계

양자론에서 비트 대수의 생성원 $\ell_n$ 은 비라소로 생성원 $L_n$ 으로 승격되며, 일차장의 조건은 다음과 같이 표현된다:

L_0 |\phi\rangle = h |\phi\rangle, \qquad \bar{L}_0 |\phi\rangle = \bar{h} |\phi\rangle

L_n |\phi\rangle = 0 \quad (n > 0), \qquad \bar{L}_n |\phi\rangle = 0 \quad (n > 0)

정칙 비라소로 생성원 $\{L_n\}$ 과 반정칙 비라소로 생성원 $\{\bar{L}_n\}$ 은 서로 교환하므로, 힐베르트 공간은

\mathcal{H} = \bigoplus_{h, \bar{h}} \mathcal{V}_h \otimes \bar{\mathcal{V}}_{\bar{h}}

와 같이 정칙 모듈과 반정칙 모듈의 텐서곱으로 분해된다. 여기서 $\mathcal{V}_h$ 는 최고 무게 $h$ 를 갖는 비라소로 대수의 베르마 모듈(Verma module)의 몫이다.

예제자유 보손

2차원 자유 질량 없는 보손 $X(z, \bar{z})$ 의 운동 방정식은 $\partial \bar{\partial} X = 0$ 이다. 해를

X(z, \bar{z}) = X_L(z) + X_R(\bar{z})

로 정칙 부분과 반정칙 부분으로 분리할 수 있다. 이로부터 구성되는 정칙 전류

J(z) = i\partial X_L(z)

는 등각 무게 $(h, \bar{h}) = (1, 0)$ 의 정칙 일차장이다.

6. 분배 함수의 정칙 분해

토러스 $T^2$ 위에서 정의된 CFT의 분배 함수는

Z(\tau, \bar{\tau}) = \mathrm{Tr}_{\mathcal{H}}\bigl[q^{L_0 - c/24}\, \bar{q}^{\bar{L}_0 - \bar{c}/24}\bigr], \qquad q = e^{2\pi i \tau}

이며, 힐베르트 공간의 정칙·반정칙 분해에 따라

Z(\tau, \bar{\tau}) = \sum_{h, \bar{h}} N_{h, \bar{h}}\, \chi_h(\tau)\, \bar{\chi}_{\bar{h}}(\bar{\tau})

로 쓸 수 있다. 여기서 $\chi_h(\tau) = \mathrm{Tr}_{\mathcal{V}_h}[q^{L_0 - c/24}]$ 는 비라소로 지표(Virasoro character)이며, $N_{h, \bar{h}}$ 는 음이 아닌 정수 다중도이다. 이 분배 함수는 모듈러 변환 $\tau \to \tau + 1$ 및 $\tau \to -1/\tau$ 하에서 불변이어야 하며, 이 조건은 이론의 스펙트럼을 강하게 제한한다.