연산자 곱 전개 (Operator Product Expansion)

1. OPE의 일반적 정의

양자장론에서 두 국소 연산자가 가까워질 때, 그 곱을 국소 연산자들의 급수로 전개할 수 있다. 이를 연산자 곱 전개(operator product expansion, OPE)라 한다.

정의5.1연산자 곱 전개

두 연산자 $\mathcal{O}_i(x)$ 와 $\mathcal{O}_j(y)$ 의 연산자 곱 전개(OPE)란, $x \to y$ 일 때 성립하는 다음 급수를 말한다:

\mathcal{O}_i(x)\, \mathcal{O}_j(y) = \sum_k C_{ij}^{\;\;k}(x - y)\, \mathcal{O}_k(y)

여기서 합은 이론의 모든 국소 연산자 $\mathcal{O}_k$ 에 대해 취하며, $C_{ij}^{\;\;k}(x-y)$ 는 OPE 계수 함수로서 등각 대칭에 의해 그 형태가 결정된다. 이 전개는 임의의 다른 연산자의 상관 함수 안에서 성립하는 연산자 항등식이다.

2. 2차원 CFT에서의 OPE

2차원 CFT에서 복소 좌표를 사용하면 OPE는 특히 깔끔한 형태를 갖는다. 등각 무게 $(h_i, \bar{h}_i)$ 의 일차장 $\phi_i(z, \bar{z})$ 와 등각 무게 $(h_j, \bar{h}_j)$ 의 일차장 $\phi_j(w, \bar{w})$ 의 OPE는

\phi_i(z, \bar{z})\, \phi_j(w, \bar{w}) = \sum_k C_{ij}^{\;\;k}\, (z-w)^{h_k - h_i - h_j}\, (\bar{z}-\bar{w})^{\bar{h}_k - \bar{h}_i - \bar{h}_j}\, \bigl[\phi_k(w, \bar{w}) + \text{descendants}\bigr]

으로 주어진다. 후손장의 기여까지 포함하면

\phi_i(z, \bar{z})\, \phi_j(w, \bar{w}) = \sum_k C_{ij}^{\;\;k} \sum_{N, \bar{N}} \beta_{ij}^{k;\{N\}} \beta_{ij}^{k;\{\bar{N}\}}\, (z-w)^{h_k - h_i - h_j + |N|}\, (\bar{z}-\bar{w})^{\bar{h}_k - \bar{h}_i - \bar{h}_j + |\bar{N}|}\, \mathcal{O}_k^{(N, \bar{N})}(w, \bar{w})

이며, 계수 $\beta_{ij}^{k;\{N\}}$ 은 등각 대칭에 의해 완전히 결정되어 $c$ , $h_i$ , $h_j$ , $h_k$ 의 함수이다.

3. 에너지-운동량 텐서의 OPE

2차원 CFT에서 가장 기본적인 OPE는 에너지-운동량 텐서 $T(z)$ 자신과의 OPE이다:

T(z)\, T(w) = \frac{c/2}{(z-w)^4} + \frac{2\, T(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial T(w)}{z-w} + \text{regular}

법칙5.1$TT$ OPE와 비라소로 대수

에너지-운동량 텐서의 OPE에서 $(z-w)^{-4}$ 항의 계수가 중심 전하(central charge) $c$ 를 결정한다. 이 OPE를 모드 전개하면 비라소로 대수

[L_m, L_n] = (m - n) L_{m+n} + \frac{c}{12} m(m^2 - 1)\, \delta_{m+n, 0}

와 동치이다.

에너지-운동량 텐서와 일차장 $\phi(w, \bar{w})$ (등각 무게 $(h, \bar{h})$ )의 OPE는

T(z)\, \phi(w, \bar{w}) = \frac{h\, \phi(w, \bar{w})}{(z-w)^2} + \frac{\partial_w \phi(w, \bar{w})}{z-w} + \text{regular}

이다. 이는 $\phi$ 가 일차장이라는 조건의 동치 표현이다.

4. OPE와 상관 함수

OPE의 핵심적 성질은 결합 법칙(associativity)이다. 4점 함수를 두 가지 방식으로 OPE 전개할 수 있다:

$s$ -채널: $(12)(34)$ — $\phi_1$ 과 $\phi_2$ 를 먼저 OPE

$t$ -채널: $(14)(23)$ — $\phi_1$ 과 $\phi_4$ 를 먼저 OPE

두 전개가 동일한 결과를 주어야 한다는 조건이 교차 대칭(crossing symmetry) 또는 부트스트랩 방정식(bootstrap equation)이다:

\sum_p C_{12p}\, C_{34p}\, \mathcal{F}^{(s)}_p(u, v) = \sum_q C_{14q}\, C_{23q}\, \mathcal{F}^{(t)}_q(u, v)

여기서 $\mathcal{F}_p$ 는 등각 블록(conformal block)으로, 하나의 일차장과 그 모든 후손장의 기여를 합산한 것이다.

유도OPE 계수와 3점 함수의 관계

OPE 계수 $C_{ij}^{\;\;k}$ 는 3점 함수의 구조 상수와 직접적으로 관련된다. 3점 함수

\langle \phi_i(z_1) \phi_j(z_2) \phi_k(z_3) \rangle = \frac{C_{ijk}}{z_{12}^{h_i+h_j-h_k}\, z_{23}^{h_j+h_k-h_i}\, z_{13}^{h_i+h_k-h_j}}

에서 $z_1 \to z_2$ 극한을 취하고 OPE를 적용하면

\langle \phi_i(z_1) \phi_j(z_2) \phi_k(z_3) \rangle \approx \sum_m \frac{C_{ij}^{\;\;m}}{z_{12}^{h_i+h_j-h_m}} \langle \phi_m(z_2) \phi_k(z_3) \rangle = \sum_m \frac{C_{ij}^{\;\;m}\, \delta_{mk}}{z_{12}^{h_i+h_j-h_m}\, z_{23}^{2h_k}}

양변을 비교하면 (2점 함수를 $\langle \phi_k \phi_k \rangle = 1$ 로 정규화한 경우) $C_{ij}^{\;\;k} = C_{ijk}$ 임을 알 수 있다.

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5. OPE의 수렴성

참고OPE의 수렴 반경

등각장론에서 OPE는 단순한 점근 급수가 아니라 수렴하는 급수이다. 구체적으로, $\phi_i(z_1) \phi_j(z_2)$ 의 OPE는 상관 함수 $\langle \phi_i(z_1) \phi_j(z_2) \cdots \rangle$ 안에서, $|z_1 - z_2|$ 가 $z_2$ 로부터 가장 가까운 다른 연산자 삽입점까지의 거리보다 작을 때 수렴한다. 이 수렴성은 래디얼 양자화에서의 완비성(completeness)과 상태-연산자 대응으로부터 따라 나온다.

6. 주요 OPE의 예

예제자유 보손의 OPE

자유 질량 없는 보손 $X(z, \bar{z})$ 에 대해 정칙 부분의 기본 OPE는

\partial X(z)\, \partial X(w) = -\frac{1}{(z-w)^2} + \text{regular}

이며, 꼭짓점 연산자(vertex operator) $V_\alpha(z) = :\!e^{i\alpha X(z)}\!:$ 들 사이의 OPE는

V_\alpha(z)\, V_\beta(w) = (z-w)^{\alpha\beta}\, :\!e^{i\alpha X(z) + i\beta X(w)}\!:

이다. 꼭짓점 연산자의 등각 무게는 $h = \alpha^2/2$ 이다.

예제이징 모형의 OPE

2차원 이징 모형의 임계점은 $c = 1/2$ 최소 모형으로 기술된다. 세 개의 일차장 $\mathbb{1}$ (항등), $\sigma$ ( $h = 1/16$ ), $\epsilon$ ( $h = 1/2$ )의 OPE는

\sigma \times \sigma = \mathbb{1} + \epsilon, \qquad \sigma \times \epsilon = \sigma, \qquad \epsilon \times \epsilon = \mathbb{1}

이며, 이는 $\mathbb{Z}_2$ 대칭을 반영한다.