비라소로 대수 (Virasoro Algebra)
1. 비트 대수에서 비라소로 대수로
고전적 2차원 등각 대수인 비트 대수(Witt algebra)는 양자화 과정에서 중심 확장 (central extension)을 받는다. 이 중심 확장된 대수가 비라소로 대수이다.
정의 6.1 비라소로 대수
비라소로 대수 (Virasoro algebra) V i r \mathrm{Vir} Vir { L n } n ∈ Z \{L_n\}_{n \in \mathbb{Z}} { L n } n ∈ Z c c c
[ L m , L n ] = ( m − n ) L m + n + c 12 m ( m 2 − 1 ) δ m + n , 0 [L_m, L_n] = (m - n) L_{m+n} + \frac{c}{12} m(m^2 - 1)\, \delta_{m+n, 0} [ L m , L n ] = ( m − n ) L m + n + 12 c m ( m 2 − 1 ) δ m + n , 0 [ L n , c ] = 0 [L_n, c] = 0 [ L n , c ] = 0 여기서 δ m + n , 0 \delta_{m+n,0} δ m + n , 0 V i r ⊕ V i r ‾ \mathrm{Vir} \oplus \overline{\mathrm{Vir}} Vir ⊕ Vir
2. 중심 확장의 유일성
비트 대수의 중심 확장은 (동치 관계를 제외하면) 유일하다는 것이 리 대수 코호몰로지에 의해 보장된다.
유도 비라소로 중심 확장의 유도
비트 대수의 2차 코호몰로지 H 2 ( W i t t , C ) H^2(\mathfrak{Witt}, \mathbb{C}) H 2 ( Witt , C )
[ ℓ ^ m , ℓ ^ n ] = ( m − n ) ℓ ^ m + n + α ( m , n ) [\hat{\ell}_m, \hat{\ell}_n] = (m - n)\hat{\ell}_{m+n} + \alpha(m, n) [ ℓ ^ m , ℓ ^ n ] = ( m − n ) ℓ ^ m + n + α ( m , n ) 의 형태이며, 여기서 2-코사이클 α ( m , n ) \alpha(m, n) α ( m , n )
반대칭성 : α ( m , n ) = − α ( n , m ) \alpha(m, n) = -\alpha(n, m) α ( m , n ) = − α ( n , m )
야코비 항등식 :
( m − n ) α ( m + n , p ) + ( n − p ) α ( n + p , m ) + ( p − m ) α ( p + m , n ) = 0 (m-n)\alpha(m+n, p) + (n-p)\alpha(n+p, m) + (p-m)\alpha(p+m, n) = 0 ( m − n ) α ( m + n , p ) + ( n − p ) α ( n + p , m ) + ( p − m ) α ( p + m , n ) = 0 ℓ ^ n → ℓ ^ n + β ( n ) \hat{\ell}_n \to \hat{\ell}_n + \beta(n) ℓ ^ n → ℓ ^ n + β ( n )
α ( m , n ) = c 12 m ( m 2 − 1 ) δ m + n , 0 \alpha(m, n) = \frac{c}{12} m(m^2 - 1)\, \delta_{m+n, 0} α ( m , n ) = 12 c m ( m 2 − 1 ) δ m + n , 0 의 형태임을 보일 수 있다. 따라서 H 2 ( W i t t , C ) ≅ C H^2(\mathfrak{Witt}, \mathbb{C}) \cong \mathbb{C} H 2 ( Witt , C ) ≅ C c c c
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3. 비라소로 생성원의 모드 전개
에너지-운동량 텐서 T ( z ) T(z) T ( z )
T ( z ) = ∑ n ∈ Z L n z n + 2 T(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{L_n}{z^{n+2}} T ( z ) = n ∈ Z ∑ z n + 2 L n 이며, 역으로
L n = ∮ d z 2 π i z n + 1 T ( z ) L_n = \oint \frac{dz}{2\pi i}\, z^{n+1}\, T(z) L n = ∮ 2 πi d z z n + 1 T ( z ) 이다. 적분은 원점을 둘러싸는 반시계 방향 윤곽을 따른다.
참고 특수 생성원의 역할
비라소로 생성원 중 특히 중요한 것은 다음 세 개이다:
L − 1 L_{-1} L − 1 [ L − 1 , ϕ ( z ) ] = ∂ z ϕ ( z ) [L_{-1}, \phi(z)] = \partial_z \phi(z) [ L − 1 , ϕ ( z )] = ∂ z ϕ ( z ) L 0 L_0 L 0 h h h L 1 L_1 L 1 이 세 생성원은 s l ( 2 , C ) \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) sl ( 2 , C ) [ L 0 , L ± 1 ] = ∓ L ± 1 [L_0, L_{\pm 1}] = \mp L_{\pm 1} [ L 0 , L ± 1 ] = ∓ L ± 1 [ L 1 , L − 1 ] = 2 L 0 [L_1, L_{-1}] = 2L_0 [ L 1 , L − 1 ] = 2 L 0
4. 최고 무게 표현
비라소로 대수의 표현론은 2차원 CFT의 핵심이다.
정의 6.2 최고 무게 표현
비라소로 대수의 최고 무게 표현 (highest-weight representation)은 최고 무게 상태 ∣ h ⟩ |h\rangle ∣ h ⟩
L 0 ∣ h ⟩ = h ∣ h ⟩ , L n ∣ h ⟩ = 0 ( n > 0 ) L_0 |h\rangle = h |h\rangle, \qquad L_n |h\rangle = 0 \quad (n > 0) L 0 ∣ h ⟩ = h ∣ h ⟩ , L n ∣ h ⟩ = 0 ( n > 0 ) 이 상태에 내림 연산자 L − n L_{-n} L − n n > 0 n > 0 n > 0 베르마 모듈 (Verma module) V ( c , h ) \mathcal{V}(c, h) V ( c , h )
V ( c , h ) = s p a n { L − n 1 L − n 2 ⋯ L − n k ∣ h ⟩ ∣ n 1 ≥ n 2 ≥ ⋯ ≥ n k ≥ 1 } \mathcal{V}(c, h) = \mathrm{span}\bigl\{L_{-n_1} L_{-n_2} \cdots L_{-n_k} |h\rangle \;\big|\; n_1 \geq n_2 \geq \cdots \geq n_k \geq 1\bigr\} V ( c , h ) = span { L − n 1 L − n 2 ⋯ L − n k ∣ h ⟩ n 1 ≥ n 2 ≥ ⋯ ≥ n k ≥ 1 } 레벨 N = n 1 + n 2 + ⋯ + n k N = n_1 + n_2 + \cdots + n_k N = n 1 + n 2 + ⋯ + n k L 0 L_0 L 0 h + N h + N h + N
레벨 N N N N N N 분할수 (partition number) p ( N ) p(N) p ( N )
| 레벨 N N N p ( N ) p(N) p ( N ) 0 0 0 ∥ h ⟩ \|h\rangle ∥ h ⟩ 1 1 1 1 1 1 L − 1 ∥ h ⟩ L_{-1}\|h\rangle L − 1 ∥ h ⟩ 1 1 1 2 2 2 L − 2 ∥ h ⟩ , L − 1 2 ∥ h ⟩ L_{-2}\|h\rangle,\; L_{-1}^2\|h\rangle L − 2 ∥ h ⟩ , L − 1 2 ∥ h ⟩ 2 2 2 3 3 3 L − 3 ∥ h ⟩ , L − 2 L − 1 ∥ h ⟩ , L − 1 3 ∥ h ⟩ L_{-3}\|h\rangle,\; L_{-2}L_{-1}\|h\rangle,\; L_{-1}^3\|h\rangle L − 3 ∥ h ⟩ , L − 2 L − 1 ∥ h ⟩ , L − 1 3 ∥ h ⟩ 3 3 3
5. 카츠 행렬식
베르마 모듈이 약분 불가능(irreducible)인지 판정하기 위해 카츠 행렬식 (Kac determinant)을 계산한다.
레벨 N N N M N M_N M N
( M N ) i j = ⟨ h ∣ L n i 1 ⋯ L n i k L − m j 1 ⋯ L − m j l ∣ h ⟩ (M_N)_{ij} = \langle h | L_{n_{i_1}} \cdots L_{n_{i_k}} L_{-m_{j_1}} \cdots L_{-m_{j_l}} | h \rangle ( M N ) ij = ⟨ h ∣ L n i 1 ⋯ L n i k L − m j 1 ⋯ L − m j l ∣ h ⟩ 로 정의되며, 카츠가 증명한 행렬식 공식은
det M N = α N ∏ r , s ≥ 1 r s ≤ N ( h − h r , s ( c ) ) p ( N − r s ) \det M_N = \alpha_N \prod_{\substack{r, s \geq 1 \\ rs \leq N}} \bigl(h - h_{r,s}(c)\bigr)^{p(N - rs)} det M N = α N r , s ≥ 1 rs ≤ N ∏ ( h − h r , s ( c ) ) p ( N − rs ) 이다. 여기서 α N \alpha_N α N c c c h h h h r , s ( c ) h_{r,s}(c) h r , s ( c )
h r , s = [ ( m + 1 ) r − m s ] 2 − 1 4 m ( m + 1 ) , c = 1 − 6 m ( m + 1 ) h_{r,s} = \frac{[(m+1)r - ms]^2 - 1}{4m(m+1)}, \qquad c = 1 - \frac{6}{m(m+1)} h r , s = 4 m ( m + 1 ) [( m + 1 ) r − m s ] 2 − 1 , c = 1 − m ( m + 1 ) 6 로 매개화된다.
참고 영 벡터와 기약 표현
det M N = 0 \det M_N = 0 det M N = 0 N N N 영 벡터 (null vector, 또는 singular vector)가 존재한다. 영 벡터는 노름이 0인 최고 무게 상태이다. 기약 표현(irreducible representation)은 베르마 모듈에서 영 벡터가 생성하는 부분 모듈을 몫으로 취하여 얻는다:
M ( c , h ) = V ( c , h ) / N ( c , h ) \mathcal{M}(c, h) = \mathcal{V}(c, h) / \mathcal{N}(c, h) M ( c , h ) = V ( c , h ) / N ( c , h ) 영 벡터의 존재는 상관 함수에 대한 추가적인 미분 방정식 을 부과하며, 이는 이론의 정확한 풀이 가능성(exact solvability)과 깊이 연관된다.
6. 비라소로 지표
정의 6.3 비라소로 지표
비라소로 표현 V \mathcal{V} V 지표 (character)는 다음과 같이 정의된다:
χ V ( τ ) = T r V [ q L 0 − c / 24 ] , q = e 2 π i τ \chi_{\mathcal{V}}(\tau) = \mathrm{Tr}_{\mathcal{V}}\bigl[q^{L_0 - c/24}\bigr], \qquad q = e^{2\pi i \tau} χ V ( τ ) = Tr V [ q L 0 − c /24 ] , q = e 2 πi τ 베르마 모듈 V ( c , h ) \mathcal{V}(c, h) V ( c , h )
χ V ( c , h ) ( τ ) = q h − c / 24 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) = q h − c / 24 η ( τ ) / q 1 / 24 \chi_{\mathcal{V}(c,h)}(\tau) = \frac{q^{h - c/24}}{\prod_{n=1}^{\infty}(1 - q^n)} = \frac{q^{h - c/24}}{\eta(\tau) / q^{1/24}} χ V ( c , h ) ( τ ) = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) q h − c /24 = η ( τ ) / q 1/24 q h − c /24 이다. 여기서 η ( τ ) = q 1 / 24 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) \eta(\tau) = q^{1/24}\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n) η ( τ ) = q 1/24 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) 데데킨트 에타 함수 (Dedekind eta function)이다. 기약 표현의 지표는 영 벡터에 의한 부분 모듈의 기여를 빼야 하므로 더 복잡한 형태를 갖는다.