중심 전하 (Central Charge)

1. 중심 전하의 정의와 의미

중심 전하 $c$ 는 2차원 등각장론을 특징짓는 가장 기본적인 양 중 하나이다. 이는 비라소로 대수의 중심 확장에 나타나는 상수이며, 이론의 자유도의 수를 측정한다.

정의7.1중심 전하

2차원 CFT의 중심 전하(central charge) $c$ 는 다음과 같은 동치 방식들로 정의된다:

비라소로 대수의 중심 항: $[L_m, L_n] = (m-n)L_{m+n} + \frac{c}{12}m(m^2-1)\delta_{m+n,0}$
$TT$ OPE의 최고 특이항: $T(z)T(w) = \frac{c/2}{(z-w)^4} + \cdots$
에너지-운동량 텐서의 2점 함수: $\langle T(z) T(w) \rangle = \frac{c/2}{(z-w)^4}$
진공 위의 카시미르 에너지: 실린더 $S^1 \times \mathbb{R}$ 위에서 진공 에너지는 $E_0 = -\frac{\pi c}{6L}$ 이며, 여기서 $L$ 은 $S^1$ 의 둘레이다.

2. 자유장 이론의 중심 전하

예제자유장의 중심 전하

기본적인 자유장 이론들의 중심 전하는 다음과 같다:

| 이론 | 중심 전하 $c$ | |------|--------------| | 자유 보손 $X$ | $1$ | | 자유 디랙 페르미온 $\psi$ | $1$ | | 자유 마요라나 페르미온 | $1/2$ | | $bc$ 유령 시스템 (스핀 $\lambda$ ) | $-3(2\lambda - 1)^2 + 1$ | | $\beta\gamma$ 시스템 (스핀 $\lambda$ ) | $3(2\lambda - 1)^2 - 1$ |

$n$ 개의 독립적인 자유 보손으로 이루어진 이론의 중심 전하는 $c = n$ 이다.

3. 등각 이상과 슈바르츠 미분

유한 등각 변환 $z \to w(z)$ 하에서 에너지-운동량 텐서의 변환 법칙은

T(z) = \left(\frac{dw}{dz}\right)^2 T'(w) + \frac{c}{12}\, S(w, z)

이다. 여기서 $S(w, z)$ 는 슈바르츠 미분(Schwarzian derivative)이다.

정의7.2슈바르츠 미분

함수 $w(z)$ 의 슈바르츠 미분(Schwarzian derivative)은

S(w, z) = \frac{w'''}{w'} - \frac{3}{2}\left(\frac{w''}{w'}\right)^2

로 정의된다. 여기서 프라임은 $z$ 에 대한 미분을 나타낸다. 슈바르츠 미분은 뫼비우스 변환 $w = (az+b)/(cz+d)$ 에 대해 $S = 0$ 이며, 이는 전역적 등각 군에서 이상(anomaly)이 없음을 반영한다.

유도평면에서 실린더로의 변환

평면 $\mathbb{C}$ 에서 실린더 $S^1 \times \mathbb{R}$ 로의 등각 사상 $w = \frac{L}{2\pi}\ln z$ 를 고려하자. 슈바르츠 미분을 계산하면

w' = \frac{L}{2\pi z}, \qquad w'' = -\frac{L}{2\pi z^2}, \qquad w''' = \frac{L}{\pi z^3}

S(w, z) = \frac{L/(\pi z^3)}{L/(2\pi z)} - \frac{3}{2}\left(\frac{-L/(2\pi z^2)}{L/(2\pi z)}\right)^2 = \frac{2}{z^2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{z^2} = \frac{1}{2z^2}

따라서 실린더 위의 에너지-운동량 텐서는

T_{\mathrm{cyl}}(w) = \left(\frac{2\pi z}{L}\right)^2 T_{\mathrm{plane}}(z) - \frac{c}{24}\left(\frac{2\pi}{L}\right)^2

평면에서 진공의 기댓값 $\langle T_{\mathrm{plane}} \rangle = 0$ 이므로, 실린더 위의 진공 기댓값은

\langle T_{\mathrm{cyl}} \rangle = -\frac{c}{24}\left(\frac{2\pi}{L}\right)^2

이다. 이로부터 카시미르 에너지 $E_0 = -\frac{\pi c}{6L}$ 을 얻는다.

■

4. $c$ -정리

자모로드치코프(Zamolodchikov)는 2차원 양자장론에서 재정규화 군 흐름(RG flow)의 방향에 대한 근본적인 결과를 증명하였다.

법칙7.1자모로드치코프 $c$-정리

2차원 양자장론에서, 커플링 상수 $g^i$ 의 함수로 정의되는 $c$ -함수 $C(g^i)$ 가 존재하여 다음을 만족한다:

$C(g^i)$ 는 재정규화 군 흐름을 따라 단조 감소한다: $\mu \frac{dC}{d\mu} \leq 0$
고정점(등각 불변점)에서 $C$ 는 해당 CFT의 중심 전하 $c$ 와 일치한다.

따라서 UV 고정점의 중심 전하 $c_{\mathrm{UV}}$ 와 IR 고정점의 중심 전하 $c_{\mathrm{IR}}$ 사이에

c_{\mathrm{UV}} \geq c_{\mathrm{IR}}

가 성립한다. 이는 재정규화 군 흐름이 비가역적이며, 자유도가 감소하는 방향으로 진행함을 의미한다.

5. 카시미르 에너지와 자유 에너지

유한 온도 $T = 1/\beta$ 에서 실린더 위의 자유 에너지는

F = -\frac{\pi c}{6\beta L}\left(\frac{L}{\beta}\right)

고온 극한 $\beta \to 0$ 에서 자유 에너지 밀도는

f = -\frac{\pi c}{6\beta^2}

이며, 이로부터 엔트로피 밀도는

s = \frac{\pi c}{3\beta} = \frac{\pi c T}{3}

이다. 이것은 카디 공식(Cardy formula)의 열역학적 버전이다.

참고카디 공식

중심 전하 $c$ 를 갖는 2차원 CFT에서 큰 등각 차원 $\Delta \gg 1$ 을 갖는 일차장의 상태 밀도는

\rho(\Delta) \sim \exp\left(2\pi\sqrt{\frac{c\Delta}{6}}\right)

로 주어진다. 이것이 카디 공식(Cardy formula)이며, 블랙홀 엔트로피의 미시적 계산에서 핵심적인 역할을 한다. 특히 BTZ 블랙홀의 엔트로피를 카디 공식을 통해 정확히 재현할 수 있다.

6. 중심 전하의 분류

유니터리 이론에서 중심 전하는 다음과 같은 값만을 취할 수 있다:

c \geq 1 \qquad \text{(연속 스펙트럼)}

또는 이산 계열(discrete series):

c = 1 - \frac{6}{m(m+1)}, \qquad m = 2, 3, 4, \ldots

예제이산 계열의 예

처음 몇 개의 이산 계열 값은 다음과 같다:

| $m$ | $c$ | 물리적 실현 | |-----|-----|-----------| | $2$ | $0$ | 자명한 이론 | | $3$ | $1/2$ | 이징 모형 | | $4$ | $7/10$ | 삼상태 포츠 모형 (tricritical Ising) | | $5$ | $4/5$ | 삼상태 포츠 모형 (3-state Potts) | | $6$ | $6/7$ | 사면체 모형 (tetracritical Ising) |

$m \to \infty$ 이면 $c \to 1$ 이다. $c \geq 1$ 영역에서는 연속적인 $c$ 값이 허용된다.