WZW 모형 (WZW Model)

1. WZW 모형의 정의

WZW(Wess-Zumino-Witten) 모형은 등각 대칭 외에 추가적인 아핀 리 대수(affine Lie algebra) 대칭을 갖는 2차원 등각장론이다.

정의10.1WZW 모형

콤팩트 단순 리 군 $G$ 위의 WZW 모형(Wess-Zumino-Witten model)은 장 $g: \Sigma \to G$ (여기서 $\Sigma$ 는 2차원 세계면)에 대한 다음 작용으로 정의된다:

S_{\mathrm{WZW}}[g] = \frac{k}{16\pi}\int_\Sigma d^2x\, \mathrm{Tr}\bigl(\partial_\mu g^{-1} \partial^\mu g\bigr) + k\, \Gamma_{\mathrm{WZ}}[g]

여기서 첫째 항은 비선형 시그마 모형의 작용이고, 둘째 항은 비스-주미노 항(Wess-Zumino term)이다:

\Gamma_{\mathrm{WZ}}[g] = \frac{1}{24\pi}\int_B d^3y\, \epsilon^{ijk}\, \mathrm{Tr}\bigl(\tilde{g}^{-1}\partial_i \tilde{g}\; \tilde{g}^{-1}\partial_j \tilde{g}\; \tilde{g}^{-1}\partial_k \tilde{g}\bigr)

여기서 $B$ 는 $\partial B = \Sigma$ 인 3차원 다양체이고, $\tilde{g}: B \to G$ 는 $g$ 의 $B$ 로의 확장이다. 정수 $k \in \mathbb{Z}$ 를 레벨(level)이라 한다.

참고위상학적 양자화

비스-주미노 항은 $B$ 의 선택에 의존하지만, 경로 적분의 위상 인자 $e^{ikS_{\mathrm{WZ}}}$ 가 $B$ 에 무관하려면 $k$ 가 정수여야 한다. 이는 $\pi_3(G) = \mathbb{Z}$ 라는 위상학적 성질에서 기인하며, 위상학적 양자화(topological quantization)의 대표적인 예이다.

2. WZW 모형의 등각 대칭

WZW 모형은 등각 불변이며, 그 중심 전하는 리 군 $G$ 와 레벨 $k$ 에 의해 결정된다.

c = \frac{k \dim G}{k + h^\vee}

여기서 $\dim G$ 는 리 군의 차원, $h^\vee$ 는 쌍대 콕세터 수(dual Coxeter number)이다.

예제$\mathrm{SU}(N)$의 WZW 모형

$G = \mathrm{SU}(N)$ 인 경우, $\dim G = N^2 - 1$ 이고 $h^\vee = N$ 이므로 중심 전하는

c = \frac{k(N^2 - 1)}{k + N}

특별한 경우:

$\mathrm{SU}(2)_k$ : $c = 3k/(k+2)$ . $k = 1$ 이면 $c = 1$ 으로 자유 보손과 같다.
$\mathrm{SU}(3)_1$ : $c = 16/4 = 2$ . 두 개의 자유 보손과 같은 중심 전하.
$\mathrm{SU}(2)_1$ : $c = 1$ . 이 모형은 반지름 $R = 1/\sqrt{2}$ 의 원 위에서 콤팩트화된 자유 보손과 동치이다.

3. 전류 대수와 정칙 분해

WZW 모형의 핵심적 성질은 정칙 전류(holomorphic current)와 반정칙 전류(antiholomorphic current)의 존재이다. 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 기저 $\{t^a\}$ 에 대해

J^a(z) = -\frac{k}{2}\, \mathrm{Tr}\bigl(t^a\, \partial_z g\, g^{-1}\bigr), \qquad \bar{J}^a(\bar{z}) = \frac{k}{2}\, \mathrm{Tr}\bigl(t^a\, g^{-1}\partial_{\bar{z}} g\bigr)

로 정의되는 전류들은 각각 순수 정칙, 순수 반정칙이다.

이 전류들의 OPE는

J^a(z)\, J^b(w) = \frac{k\, \delta^{ab}/2}{(z-w)^2} + \frac{if^{abc}\, J^c(w)}{z-w} + \text{regular}

이며, 이를 모드 전개하면 아핀 리 대수(affine Lie algebra) 또는 카츠-무디 대수(Kac-Moody algebra)의 교환 관계를 얻는다.

4. 스가와라 구성

WZW 모형의 에너지-운동량 텐서는 전류로부터 스가와라 구성(Sugawara construction)을 통해 얻어진다.

유도스가와라 구성

에너지-운동량 텐서는 전류의 이중 정규순서곱(normal-ordered bilinear)으로 구성된다:

T(z) = \frac{1}{k + h^\vee} \sum_a :\!J^a(z) J^a(z)\!:

이 구성이 올바른 비라소로 대수를 재현함을 보이자. $T(z)$ 와 $J^a(w)$ 의 OPE를 계산하면

T(z)\, J^a(w) = \frac{J^a(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial J^a(w)}{z-w} + \cdots

으로, $J^a$ 가 등각 무게 $h = 1$ 의 일차장임을 확인한다. $T(z)T(w)$ OPE를 계산하면 중심 전하가

c = \frac{k \dim G}{k + h^\vee}

임을 얻는다. 여기서 분모의 $h^\vee$ 는 정규순서의 양자 보정에서 나온다.

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5. 일차장과 적분 가능 표현

WZW 모형의 일차장은 아핀 리 대수의 적분 가능 최고 무게 표현(integrable highest-weight representation)에 대응된다.

정의10.2WZW 일차장

레벨 $k$ 의 $G$ -WZW 모형에서 허용되는 일차장은 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 최고 무게 $\lambda$ 를 갖는 표현 중

\langle \lambda, \theta \rangle \leq k

를 만족하는 것들에 대응된다. 여기서 $\theta$ 는 $\mathfrak{g}$ 의 최고근(highest root)이다. 이 조건을 만족하는 표현의 수는 유한하다.

$\mathrm{SU}(2)_k$ 의 경우, 허용되는 표현은 스핀 $j = 0, 1/2, 1, \ldots, k/2$ 로서 총 $k+1$ 개이다. 등각 무게는

h_j = \frac{j(j+1)}{k+2}

이다.

6. WZW 모형의 융합 규칙

예제$\mathrm{SU}(2)_k$의 융합 규칙

$\mathrm{SU}(2)_k$ 의 스핀 $j_1$ 과 $j_2$ 표현의 융합 규칙은

[j_1] \times [j_2] = \sum_{j_3 = |j_1 - j_2|}^{\min(j_1 + j_2,\; k - j_1 - j_2)} [j_3]

이다. 이는 통상적인 $\mathrm{SU}(2)$ 각운동량 합성 규칙 $|j_1 - j_2| \leq j_3 \leq j_1 + j_2$ 에 추가로 레벨 절단(level truncation) $j_3 \leq k - j_1 - j_2$ 이 적용된 것이다.

예를 들어 $\mathrm{SU}(2)_2$ 에서:

[1/2] \times [1/2] = [0] + [1], \qquad [1/2] \times [1] = [1/2], \qquad [1] \times [1] = [0]

$\mathrm{SU}(2)_1$ 에서는 $j = 0, 1/2$ 만 허용되므로:

[1/2] \times [1/2] = [0]

이는 이징 모형의 $\epsilon \times \epsilon = \mathbb{1}$ 융합과 대응된다.

참고WZW 모형과 최소 모형의 관계

WZW 모형으로부터 코셋 구성(coset construction, 또는 GKO 구성)을 통해 최소 모형을 얻을 수 있다. 구체적으로

\frac{\mathrm{SU}(2)_k \oplus \mathrm{SU}(2)_1}{\mathrm{SU}(2)_{k+1}}

코셋은 유니터리 최소 모형 $\mathcal{M}(k+3, k+2)$ 와 동치이다. 코셋의 중심 전하는

c_{\mathrm{coset}} = c_k + c_1 - c_{k+1} = \frac{3k}{k+2} + 1 - \frac{3(k+1)}{k+3} = 1 - \frac{6}{(k+2)(k+3)}

으로, 최소 모형의 중심 전하와 일치한다.