카츠-무디 대수 (Kac-Moody Algebra)
1. 아핀 리 대수의 정의
카츠-무디 대수, 보다 정확히 아핀 리 대수 (affine Lie algebra)는 유한 차원 리 대수의 무한 차원 확장이다.
정의 11.1 아핀 리 대수
단순 리 대수 g \mathfrak{g} g { t a } \{t^a\} { t a } f a b c f^{abc} f ab c κ a b = T r ( t a t b ) \kappa^{ab} = \mathrm{Tr}(t^a t^b) κ ab = Tr ( t a t b ) 아핀 리 대수 (affine Lie algebra) g ^ k \hat{\mathfrak{g}}_k g ^ k { J n a } n ∈ Z \{J^a_n\}_{n \in \mathbb{Z}} { J n a } n ∈ Z k ^ \hat{k} k ^
[ J m a , J n b ] = i f a b c J m + n c + k m δ a b δ m + n , 0 [J^a_m, J^b_n] = if^{abc}\, J^c_{m+n} + k\, m\, \delta^{ab}\, \delta_{m+n, 0} [ J m a , J n b ] = i f ab c J m + n c + k m δ ab δ m + n , 0 [ J n a , k ^ ] = 0 [J^a_n, \hat{k}] = 0 [ J n a , k ^ ] = 0 이다. 여기서 k k k k ^ \hat{k} k ^ m δ a b δ m + n , 0 m\, \delta^{ab}\, \delta_{m+n,0} m δ ab δ m + n , 0 n = 0 n = 0 n = 0 { J 0 a } \{J^a_0\} { J 0 a } g \mathfrak{g} g
2. 전류의 모드 전개
2차원 CFT에서 정칙 전류 J a ( z ) J^a(z) J a ( z )
J a ( z ) = ∑ n ∈ Z J n a z n + 1 J^a(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{J^a_n}{z^{n+1}} J a ( z ) = n ∈ Z ∑ z n + 1 J n a 이며, 역으로
J n a = ∮ d z 2 π i z n J a ( z ) J^a_n = \oint \frac{dz}{2\pi i}\, z^n\, J^a(z) J n a = ∮ 2 πi d z z n J a ( z ) 이다. OPE
J a ( z ) J b ( w ) = k δ a b ( z − w ) 2 + i f a b c J c ( w ) z − w + regular J^a(z)\, J^b(w) = \frac{k\, \delta^{ab}}{(z-w)^2} + \frac{if^{abc}\, J^c(w)}{z-w} + \text{regular} J a ( z ) J b ( w ) = ( z − w ) 2 k δ ab + z − w i f ab c J c ( w ) + regular 을 윤곽 적분으로 변환하면 아핀 리 대수의 교환 관계가 얻어진다. 여기서 k δ a b k\delta^{ab} k δ ab k κ a b / 2 k\kappa^{ab}/2 k κ ab /2
유도 OPE로부터 교환 관계의 유도
모드 J m a J^a_m J m a J n b J^b_n J n b
[ J m a , J n b ] = ∮ 0 d w 2 π i w n ∮ w d z 2 π i z m J a ( z ) J b ( w ) [J^a_m, J^b_n] = \oint_0 \frac{dw}{2\pi i}\, w^n \oint_w \frac{dz}{2\pi i}\, z^m\, J^a(z) J^b(w) [ J m a , J n b ] = ∮ 0 2 πi d w w n ∮ w 2 πi d z z m J a ( z ) J b ( w ) OPE를 대입하면, ( z − w ) − 2 (z-w)^{-2} ( z − w ) − 2 z = w z = w z = w z m z^m z m ( z − w ) − 1 (z-w)^{-1} ( z − w ) − 1 z = w z = w z = w
( z − w ) − 2 (z-w)^{-2} ( z − w ) − 2 ∮ w d z 2 π i k δ a b z m ( z − w ) 2 = k δ a b m w m − 1 \oint_w \frac{dz}{2\pi i} \frac{k\delta^{ab} z^m}{(z-w)^2} = k\delta^{ab}\, m\, w^{m-1} ∮ w 2 πi d z ( z − w ) 2 k δ ab z m = k δ ab m w m − 1 w w w k m δ a b δ m + n , 0 km\, \delta^{ab}\, \delta_{m+n,0} km δ ab δ m + n , 0
( z − w ) − 1 (z-w)^{-1} ( z − w ) − 1 ∮ w d z 2 π i i f a b c J c ( w ) z m z − w = i f a b c w m J c ( w ) \oint_w \frac{dz}{2\pi i} \frac{if^{abc} J^c(w) z^m}{z-w} = if^{abc}\, w^m\, J^c(w) ∮ w 2 πi d z z − w i f ab c J c ( w ) z m = i f ab c w m J c ( w ) w w w i f a b c J m + n c if^{abc}\, J^c_{m+n} i f ab c J m + n c
합하면 [ J m a , J n b ] = i f a b c J m + n c + k m δ a b δ m + n , 0 [J^a_m, J^b_n] = if^{abc} J^c_{m+n} + km\, \delta^{ab}\, \delta_{m+n,0} [ J m a , J n b ] = i f ab c J m + n c + km δ ab δ m + n , 0
■
3. 최고 무게 표현
정의 11.2 아핀 최고 무게 표현
아핀 리 대수 g ^ k \hat{\mathfrak{g}}_k g ^ k 최고 무게 표현 (highest-weight representation)은 최고 무게 상태 ∣ λ ⟩ |\lambda\rangle ∣ λ ⟩
J 0 a ∣ λ ⟩ = t λ a ∣ λ ⟩ , J n a ∣ λ ⟩ = 0 ( n > 0 ) J^a_0 |\lambda\rangle = t^a_\lambda |\lambda\rangle, \qquad J^a_n |\lambda\rangle = 0 \quad (n > 0) J 0 a ∣ λ ⟩ = t λ a ∣ λ ⟩ , J n a ∣ λ ⟩ = 0 ( n > 0 ) 여기서 t λ a t^a_\lambda t λ a g \mathfrak{g} g λ \lambda λ J − n a J^a_{-n} J − n a n > 0 n > 0 n > 0
레벨 k k k 적분 가능 (integrable) 표현은 ⟨ λ , θ ⟩ ≤ k \langle \lambda, \theta \rangle \leq k ⟨ λ , θ ⟩ ≤ k λ \lambda λ
4. s u ^ ( 2 ) k \hat{\mathfrak{su}}(2)_k su ^ ( 2 ) k
s u ^ ( 2 ) k \hat{\mathfrak{su}}(2)_k su ^ ( 2 ) k { J n 3 , J n ± } n ∈ Z \{J^3_n, J^\pm_n\}_{n \in \mathbb{Z}} { J n 3 , J n ± } n ∈ Z
[ J m 3 , J n ± ] = ± J m + n ± , [ J m + , J n − ] = 2 J m + n 3 + k m δ m + n , 0 [J^3_m, J^\pm_n] = \pm J^\pm_{m+n}, \qquad [J^+_m, J^-_n] = 2J^3_{m+n} + km\, \delta_{m+n,0} [ J m 3 , J n ± ] = ± J m + n ± , [ J m + , J n − ] = 2 J m + n 3 + km δ m + n , 0 [ J m 3 , J n 3 ] = k 2 m δ m + n , 0 [J^3_m, J^3_n] = \frac{k}{2}\, m\, \delta_{m+n,0} [ J m 3 , J n 3 ] = 2 k m δ m + n , 0 스핀 j j j ∣ j , m = j ⟩ |j, m=j\rangle ∣ j , m = j ⟩
J 0 3 ∣ j , j ⟩ = j ∣ j , j ⟩ , J 0 + ∣ j , j ⟩ = 0 , J n a ∣ j , j ⟩ = 0 ( n > 0 ) J^3_0 |j, j\rangle = j|j, j\rangle, \qquad J^+_0 |j, j\rangle = 0, \qquad J^a_n |j, j\rangle = 0 \quad (n > 0) J 0 3 ∣ j , j ⟩ = j ∣ j , j ⟩ , J 0 + ∣ j , j ⟩ = 0 , J n a ∣ j , j ⟩ = 0 ( n > 0 ) 을 만족하며, 허용 조건은 2 j ≤ k 2j \leq k 2 j ≤ k j = 0 , 1 / 2 , 1 , … , k / 2 j = 0, 1/2, 1, \ldots, k/2 j = 0 , 1/2 , 1 , … , k /2
5. 카츠-무디 대수와 비라소로 대수의 관계
스가와라 구성에 의해, 아핀 리 대수의 전류로부터 비라소로 생성원을 구성할 수 있다:
L n = 1 2 ( k + h ∨ ) ∑ a ∑ m ∈ Z : J m a J n − m a : L_n = \frac{1}{2(k + h^\vee)} \sum_a \sum_{m \in \mathbb{Z}} :\!J^a_m J^a_{n-m}\!: L n = 2 ( k + h ∨ ) 1 a ∑ m ∈ Z ∑ : J m a J n − m a : 이 비라소로 생성원과 카츠-무디 생성원 사이의 교환 관계는
[ L m , J n a ] = − n J m + n a [L_m, J^a_n] = -n\, J^a_{m+n} [ L m , J n a ] = − n J m + n a 이다. 이는 J a ( z ) J^a(z) J a ( z ) h = 1 h = 1 h = 1
참고 코셋 비라소로 대수
WZW 모형이 부분 대수 h ^ ⊂ g ^ \hat{\mathfrak{h}} \subset \hat{\mathfrak{g}} h ^ ⊂ g ^ h ^ \hat{\mathfrak{h}} h ^ 코셋 비라소로 대수 (coset Virasoro algebra)를 얻는다:
L n c o s e t = L n g − L n h L_n^{\mathrm{coset}} = L_n^{\mathfrak{g}} - L_n^{\mathfrak{h}} L n coset = L n g − L n h 코셋 중심 전하는 c c o s e t = c g − c h c_{\mathrm{coset}} = c_{\mathfrak{g}} - c_{\mathfrak{h}} c coset = c g − c h GKO 구성 (Goddard-Kent-Olive construction)의 핵심이며, 이를 통해 최소 모형을 포함한 다양한 CFT를 구성할 수 있다.
6. 크니즈닉-자모로드치코프 방정식
카츠-무디 대수의 워드 항등식은 WZW 일차장의 상관 함수에 대한 미분 방정식을 부과한다.
법칙 11.1 크니즈닉-자모로드치코프 방정식
WZW 모형에서 일차장 Φ λ 1 ( z 1 ) , … , Φ λ n ( z n ) \Phi_{\lambda_1}(z_1), \ldots, \Phi_{\lambda_n}(z_n) Φ λ 1 ( z 1 ) , … , Φ λ n ( z n ) n n n 크니즈닉-자모로드치코프(KZ) 방정식 을 만족한다:
[ ( k + h ∨ ) ∂ ∂ z i + ∑ j ≠ i ∑ a t i a ⊗ t j a z i − z j ] ⟨ Φ λ 1 ( z 1 ) ⋯ Φ λ n ( z n ) ⟩ = 0 \left[(k + h^\vee)\frac{\partial}{\partial z_i} + \sum_{j \neq i} \frac{\sum_a t^a_i \otimes t^a_j}{z_i - z_j}\right] \langle \Phi_{\lambda_1}(z_1) \cdots \Phi_{\lambda_n}(z_n) \rangle = 0 ( k + h ∨ ) ∂ z i ∂ + j = i ∑ z i − z j ∑ a t i a ⊗ t j a ⟨ Φ λ 1 ( z 1 ) ⋯ Φ λ n ( z n )⟩ = 0 여기서 t i a t^a_i t i a i i i 정칙 평탄 접속 (flat holomorphic connection)의 수평 절단(horizontal section) 조건으로 해석되며, 그 해는 모노드로미 (monodromy)를 통해 브레이드 군(braid group)의 표현을 제공한다.