렙톤과 쿼크 (Leptons and Quarks)

1. 표준모형의 물질 입자

표준모형(Standard Model)에서 물질을 구성하는 기본 입자는 페르미온(fermion)으로 분류되며, 스핀 $1/2$ 을 가진다. 이들은 크게 렙톤(lepton)과 쿼크(quark)의 두 범주로 나뉜다.

정의1.1페르미온

페르미온은 반정수 스핀을 가지는 입자로, 페르미-디랙 통계를 따른다. 표준모형의 물질 입자는 모두 스핀- $1/2$ 페르미온이며, 파울리 배타 원리(Pauli exclusion principle)를 만족한다.

\left\{ \psi_\alpha(\mathbf{x}), \psi_\beta^\dagger(\mathbf{y}) \right\} = \delta_{\alpha\beta} \, \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})

페르미온은 세 세대(generation)로 조직되며, 각 세대는 동일한 양자수 구조를 가지되 질량이 다르다.

2. 렙톤 (Leptons)

렙톤은 강한 상호작용에 참여하지 않는 페르미온이다. 각 세대는 하전 렙톤(charged lepton)과 이에 대응하는 뉴트리노(neutrino)로 구성된다.

정의1.2렙톤 세대

세 세대의 렙톤은 다음과 같다.

| 세대 | 하전 렙톤 | 뉴트리노 | 하전 렙톤 질량 | |:---:|:---:|:---:|:---:| | 1세대 | $e^-$ (전자) | $\nu_e$ | $0.511\;\text{MeV}/c^2$ | | 2세대 | $\mu^-$ (뮤온) | $\nu_\mu$ | $105.7\;\text{MeV}/c^2$ | | 3세대 | $\tau^-$ (타우) | $\nu_\tau$ | $1776.9\;\text{MeV}/c^2$ |

각 렙톤에는 대응하는 반입자(antiparticle)가 존재한다: $e^+$ , $\mu^+$ , $\tau^+$ , $\bar{\nu}_e$ , $\bar{\nu}_\mu$ , $\bar{\nu}_\tau$ .

렙톤의 전기 하전량은 하전 렙톤이 $Q = -1$ (단위: 양성자 전하 $e$ ), 뉴트리노가 $Q = 0$ 이다. 표준모형의 게이지 구조 하에서 왼손잡이(left-handed) 렙톤은 $SU(2)_L$ 이중항을 형성한다:

L_i = \begin{pmatrix} \nu_i \\ \ell_i^- \end{pmatrix}_L, \qquad i = 1, 2, 3

오른손잡이(right-handed) 하전 렙톤 $\ell_{iR}$ 은 $SU(2)_L$ 단일항이다.

참고렙톤 수 보존

각 세대별 렙톤 수 $L_e$ , $L_\mu$ , $L_\tau$ 는 표준모형의 고전적 수준에서 보존된다. 그러나 뉴트리노 진동 현상은 개별 세대 렙톤 수가 보존되지 않음을 보여준다. 전체 렙톤 수 $L = L_e + L_\mu + L_\tau$ 는 섭동론적(perturbative) 수준에서 보존되나, 비섭동론적 스팔레론(sphaleron) 과정에 의해 깨질 수 있다.

3. 쿼크 (Quarks)

쿼크는 강한 상호작용에 참여하는 페르미온으로, 색전하(color charge)를 운반한다. 쿼크 역시 세 세대로 구성되며, 각 세대는 위-유형(up-type)과 아래-유형(down-type) 쿼크의 쌍으로 이루어진다.

정의1.3쿼크 세대

세 세대의 쿼크는 다음과 같다.

| 세대 | 위-유형 ( $Q = +2/3$ ) | 아래-유형 ( $Q = -1/3$ ) | |:---:|:---:|:---:| | 1세대 | $u$ (업) — $2.2\;\text{MeV}/c^2$ | $d$ (다운) — $4.7\;\text{MeV}/c^2$ | | 2세대 | $c$ (참) — $1.27\;\text{GeV}/c^2$ | $s$ (이상) — $96\;\text{MeV}/c^2$ | | 3세대 | $t$ (꼭대기) — $173.1\;\text{GeV}/c^2$ | $b$ (바닥) — $4.18\;\text{GeV}/c^2$ |

각 쿼크는 세 가지 색전하(빨강, 초록, 파랑) 중 하나를 가진다.

왼손잡이 쿼크 역시 $SU(2)_L$ 이중항을 형성한다:

Q_i = \begin{pmatrix} u_i \\ d_i' \end{pmatrix}_L, \qquad i = 1, 2, 3

여기서 $d_i'$ 는 약한 상호작용의 질량 고유상태로, CKM 행렬에 의해 질량 고유상태 $d_j$ 와 연결된다:

d_i' = \sum_{j=1}^{3} V_{ij}^{\text{CKM}} \, d_j

4. 양자수와 게이지 표현

표준모형의 게이지 군 $SU(3)_C \times SU(2)_L \times U(1)_Y$ 하에서 각 페르미온의 양자수 배정은 다음과 같다.

정의1.4페르미온의 게이지 양자수

| 장(Field) | $SU(3)_C$ | $SU(2)_L$ | $U(1)_Y$ | |:---:|:---:|:---:|:---:| | $Q_L = (u_L, d_L)^T$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{2}$ | $+1/6$ | | $u_R$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{1}$ | $+2/3$ | | $d_R$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{1}$ | $-1/3$ | | $L_L = (\nu_L, \ell_L)^T$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | $-1/2$ | | $\ell_R$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{1}$ | $-1$ |

여기서 초 전하(hypercharge) $Y$ 는 겔-만-니시지마(Gell-Mann--Nishijima) 관계에 의해 전기 전하와 연결된다:

Q = T_3 + Y

$T_3$ 는 약한 아이소스핀의 제3 성분이다.

5. 카이랄 구조와 디랙 방정식

자유 쿼크 또는 렙톤 장 $\psi$ 는 디랙 방정식을 만족한다:

(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi = 0

카이랄 사영 연산자를 이용하여 왼손잡이와 오른손잡이 성분을 분리할 수 있다:

\psi_L = P_L \psi = \frac{1 - \gamma^5}{2}\psi, \qquad \psi_R = P_R \psi = \frac{1 + \gamma^5}{2}\psi

참고카이랄성과 질량

질량항 $m\bar{\psi}\psi = m(\bar{\psi}_L \psi_R + \bar{\psi}_R \psi_L)$ 는 왼손잡이와 오른손잡이 성분을 결합하므로, 게이지 대칭을 명시적으로 깨뜨리지 않기 위해서는 힉스 메커니즘을 통한 자발적 대칭 깨짐이 필요하다. 이것이 표준모형에서 페르미온 질량의 기원이다.

6. 세대 문제와 미해결 질문

왜 정확히 세 세대의 페르미온이 존재하는지는 표준모형 내에서 설명되지 않는 미해결 문제이다. 실험적으로 LEP 충돌기에서 $Z$ 보존의 비가시적(invisible) 붕괴 폭 측정을 통해 가벼운 뉴트리노의 수가 셋임이 확인되었다:

\Gamma_{\text{inv}} = N_\nu \cdot \Gamma(Z \to \nu\bar{\nu}), \qquad N_\nu = 2.9840 \pm 0.0082

예제LEP에서의 뉴트리노 세대 수 측정

$Z$ 보존의 전체 붕괴 폭은 가시적(하드론 및 하전 렙톤) 채널과 비가시적(뉴트리노) 채널의 합이다:

\Gamma_Z = \Gamma_{\text{had}} + 3\Gamma_\ell + N_\nu \Gamma_\nu

표준모형 예측값 $\Gamma_\nu^{\text{SM}} = 167.2\;\text{MeV}$ 를 사용하고, $\Gamma_Z$ , $\Gamma_{\text{had}}$ , $\Gamma_\ell$ 의 측정값을 대입하면 $N_\nu \approx 3$ 을 얻는다. 이는 $m_\nu < m_Z/2$ 인 네 번째 뉴트리노의 존재를 $5\sigma$ 이상의 수준으로 배제한다.