이산 대칭 C, P, T (Discrete Symmetries C, P, T)

1. 이산 대칭의 개요

연속 대칭(병진, 회전, 게이지 변환 등) 외에도 입자물리학에서는 세 가지 이산 대칭(discrete symmetry)이 근본적인 역할을 한다: 전하 켤레(C), 패리티(P), 시간 역전(T).

정의2.1이산 대칭 변환

세 가지 이산 대칭은 다음과 같이 정의된다:

패리티 $P$ : 공간 좌표의 반전 $\mathbf{x} \to -\mathbf{x}$
전하 켤레 $C$ : 입자를 반입자로 변환 (모든 내부 양자수의 부호 반전)
시간 역전 $T$ : 시간 좌표의 반전 $t \to -t$

$P$ 와 $C$ 는 유니터리 연산자이고, $T$ 는 반유니터리(antiunitary) 연산자이다.

2. 패리티 변환 (Parity, P)

패리티 변환은 공간 반전에 해당하며, 오른손 좌표계를 왼손 좌표계로 바꾼다.

정의2.2패리티 변환의 작용

디랙 장에 대한 패리티 변환:

P\psi(t, \mathbf{x})P^{-1} = \eta_P \gamma^0 \psi(t, -\mathbf{x})

여기서 $\eta_P$ 는 고유 패리티(intrinsic parity)로 $|\eta_P| = 1$ 이다. 주요 물리량의 패리티 변환:

| 물리량 | $P$ 변환 | 유형 | |:---:|:---:|:---:| | 위치 $\mathbf{x}$ | $-\mathbf{x}$ | 벡터 | | 운동량 $\mathbf{p}$ | $-\mathbf{p}$ | 벡터 | | 각운동량 $\mathbf{L}$ | $+\mathbf{L}$ | 축벡터 | | 스핀 $\mathbf{S}$ | $+\mathbf{S}$ | 축벡터 | | 헬리시티 $h = \hat{\mathbf{p}} \cdot \mathbf{S}$ | $-h$ | 의사스칼라 |

강한 상호작용과 전자기 상호작용은 패리티를 보존한다. 약한 상호작용은 패리티를 최대한으로 깨뜨린다.

예제파이온의 고유 패리티 결정

$\pi^-$ 의 고유 패리티를 결정하기 위해, 정지 상태에서 중수소에 의한 흡수 반응을 고려한다:

\pi^- + d \to n + n

초기 상태: $\pi^-$ 가 $s$ -파( $l=0$ )에서 포획되므로 궤도 각운동량은 0이다. 중수소의 $J^P = 1^+$ 이므로 초기 상태의 $J = 1$ 이다.

최종 상태: 두 중성자(동일 페르미온)는 파울리 배타 원리에 의해 반대칭 상태여야 한다. $J = 1$ 을 만족하려면 $^3P_1$ 상태( $S=1, L=1$ )여야 하며, 궤도 패리티는 $(-1)^L = -1$ 이다.

패리티 보존: $\eta_\pi \cdot \eta_d \cdot (-1)^0 = \eta_n^2 \cdot (-1)^1$

$\eta_d = +1$ , $\eta_n = +1$ 로 설정하면 $\eta_\pi = -1$ . 따라서 파이온은 의사스칼라(pseudoscalar) 입자이다.

3. 전하 켤레 변환 (Charge Conjugation, C)

정의2.3전하 켤레 변환

전하 켤레 연산자 $C$ 는 입자를 반입자로 변환한다:

C\psi C^{-1} = \eta_C C_0 \bar{\psi}^T

여기서 $C_0 = i\gamma^2\gamma^0$ 는 전하 켤레 행렬이다. $C$ 변환 하에서:

전하: $Q \to -Q$
바리온 수: $B \to -B$
렙톤 수: $L \to -L$
스핀, 운동량: 불변

$C$ 의 고유상태가 되려면 입자가 자신의 반입자와 같아야 한다 (예: $\gamma$ , $\pi^0$ , $Z^0$ ).

광자의 $C$ -패리티는 $C = -1$ 이다. 이로부터 $\pi^0 \to \gamma\gamma$ 의 허용과 $\pi^0 \to \gamma\gamma\gamma$ 의 금지를 이해할 수 있다:

C|\pi^0\rangle = +|\pi^0\rangle, \quad C|n\gamma\rangle = (-1)^n |n\gamma\rangle

따라서 $\pi^0$ 는 짝수 개의 광자로만 붕괴할 수 있다.

4. 패리티 깨짐과 우-양 실험

1956년 리정다오(T.D. Lee)와 양전닝(C.N. Yang)은 약한 상호작용에서의 패리티 보존이 실험적으로 검증된 적이 없음을 지적하였다. 1957년 우젠슝(C.S. Wu)은 코발트-60의 베타 붕괴에서 패리티 깨짐을 실증하였다.

예제우젠슝 실험 (Wu Experiment)

$^{60}\text{Co}$ 의 편극된 핵에서 베타 붕괴를 관측한다:

^{60}\text{Co} \to {}^{60}\text{Ni}^* + e^- + \bar{\nu}_e

핵 스핀 $\mathbf{J}$ 를 $z$ -축으로 정렬한 후, 방출된 전자의 각도 분포를 측정하면:

\frac{dN}{d\Omega} \propto 1 + \alpha \frac{\langle \mathbf{J} \rangle}{J} \cdot \hat{\mathbf{p}}_e

패리티 변환 하에서 $\mathbf{J} \to +\mathbf{J}$ (축벡터), $\hat{\mathbf{p}}_e \to -\hat{\mathbf{p}}_e$ (벡터)이므로, $\mathbf{J} \cdot \hat{\mathbf{p}}_e$ 항은 패리티 홀수이다. 실험에서 $\alpha \neq 0$ 이 관측되었으므로, 약한 상호작용은 패리티를 깨뜨린다.

실험 결과: 전자는 핵 스핀 반대 방향으로 우선적으로 방출되었다 ( $\alpha < 0$ ). 이는 약한 상호작용이 왼손잡이 입자에만 작용함을 의미한다.

5. 시간 역전 변환 (Time Reversal, T)

정의2.4시간 역전 변환

시간 역전 연산자 $T$ 는 반유니터리(antiunitary) 연산자이다:

T = UK

여기서 $U$ 는 유니터리 연산자, $K$ 는 복소 켤레 연산자이다. 반유니터리성은 양자역학의 확률 보존과 에너지의 하한 유계성을 위해 필수적이다 (비그너 정리).

$T$ 변환 하에서:

| 물리량 | $T$ 변환 | |:---:|:---:| | 위치 $\mathbf{x}$ | $+\mathbf{x}$ | | 운동량 $\mathbf{p}$ | $-\mathbf{p}$ | | 각운동량 $\mathbf{L}$ | $-\mathbf{L}$ | | 스핀 $\mathbf{S}$ | $-\mathbf{S}$ | | 전기장 $\mathbf{E}$ | $+\mathbf{E}$ | | 자기장 $\mathbf{B}$ | $-\mathbf{B}$ |

시간 역전 대칭의 깨짐은 중성 K 메존 및 B 메존 시스템에서 관측되었다.

참고T 대칭 위반과 전기 쌍극자 모멘트

기본 입자의 영구적인 전기 쌍극자 모멘트(EDM) $\mathbf{d} = d\,\mathbf{S}/S$ 는 $T$ 와 $P$ 대칭 모두를 깨뜨린다. 현재까지 중성자 EDM의 실험적 상한은:

|d_n| < 1.8 \times 10^{-26}\;e \cdot \text{cm} \quad (90\%\;\text{C.L.})

이 극히 작은 값은 QCD의 강한 CP 문제(strong CP problem)와 직접 연관된다.

6. 결합 대칭: CP와 CPT

개별 대칭 $C$ 와 $P$ 는 약한 상호작용에서 깨지지만, 이들의 결합 $CP$ 는 더 기본적인 대칭으로 한때 여겨졌다.

정의2.5CP 변환

$CP$ 변환은 입자를 반입자로 바꾸면서 동시에 공간을 반전시킨다:

CP\psi_L(t, \mathbf{x})(CP)^{-1} \propto \bar{\psi}_R(t, -\mathbf{x})

왼손잡이 입자는 오른손잡이 반입자로 변환된다. $V-A$ 약한 상호작용에서 $C$ 와 $P$ 가 개별적으로 깨지더라도, $CP$ 가 보존되면 물리 법칙은 입자-반입자 간에 대칭적이다.

그러나 1964년 크로닌(Cronin)과 피치(Fitch)는 중성 K 메존 시스템에서 $CP$ 대칭 깨짐을 발견하였다. 이 발견은 1980년 노벨 물리학상으로 이어졌다.

$CPT$ 정리에 의해, $CP$ 가 깨지면 $T$ 도 깨져야 한다. 따라서 $CP$ 위반의 관측은 동시에 시간 역전 대칭의 깨짐을 함의한다.