하드론 (Hadrons)

1. 하드론의 정의와 분류

하드론은 강한 상호작용에 참여하는 복합 입자이며, 쿼크와 글루온으로 구성된 색 단일항 속박 상태이다.

정의3.1하드론의 분류

하드론은 구성 쿼크의 수에 따라 분류된다:

메존 (Meson): 쿼크-반쿼크 쌍 $q\bar{q}'$ 으로 구성된 보존 (정수 스핀). 바리온 수 $B = 0$ .

바리온 (Baryon): 세 개의 쿼크 $q_1 q_2 q_3$ 으로 구성된 페르미온 (반정수 스핀). 바리온 수 $B = +1$ . 반바리온은 $\bar{q}_1 \bar{q}_2 \bar{q}_3$ 이며 $B = -1$ .

각 하드론은 다음 양자수의 집합으로 특징지어진다:

J^{PC} \quad (J: \text{총 각운동량},\; P: \text{패리티},\; C: \text{전하 켤레 패리티})

$C$ -패리티는 전하가 0인 자기 켤레 입자에 대해서만 정의된다.

2. 메존 분광학

쿼크 모형에서 메존 $q\bar{q}'$ 의 양자수는 쿼크의 스핀 $\mathbf{S} = \mathbf{s}_q + \mathbf{s}_{\bar{q}}$ 와 궤도 각운동량 $L$ 에 의해 결정된다.

정의3.2메존의 양자수

스핀 합성: $S = 0$ (반평행) 또는 $S = 1$ (평행)

총 각운동량: $\mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S}$ , 따라서 $J = |L - S|, \ldots, L + S$

패리티: $P = (-1)^{L+1}$ (쿼크-반쿼크 고유 패리티의 곱 $(-1)$ 포함)

전하 켤레 패리티 ( $q = \bar{q}'$ 일 때): $C = (-1)^{L+S}$

$L = 0$ 메존:

| 분류 | $J^{PC}$ | $^{2S+1}L_J$ | 예시 | |:---:|:---:|:---:|:---:| | 의사스칼라 | $0^{-+}$ | $^1S_0$ | $\pi$ , $K$ , $\eta$ , $\eta'$ | | 벡터 | $1^{--}$ | $^3S_1$ | $\rho$ , $K^*$ , $\omega$ , $\phi$ |

$L = 1$ 메존:

| 분류 | $J^{PC}$ | $^{2S+1}L_J$ | 예시 | |:---:|:---:|:---:|:---:| | 스칼라 | $0^{++}$ | $^3P_0$ | $f_0$ , $a_0$ , $K_0^*$ | | 축벡터 | $1^{++}$ | $^3P_1$ | $f_1$ , $a_1$ , $K_1$ | | 축벡터 | $1^{+-}$ | $^1P_1$ | $b_1$ , $h_1$ , $K_1$ | | 텐서 | $2^{++}$ | $^3P_2$ | $f_2$ , $a_2$ , $K_2^*$ |

참고이국적 양자수

쿼크 모형에서 허용되지 않는 $J^{PC}$ 조합이 존재한다. 이를 이국적 양자수(exotic quantum numbers)라 한다:

J^{PC} = 0^{--},\; 0^{+-},\; 1^{-+},\; 2^{+-},\; \ldots

예를 들어 $1^{-+}$ 는 $q\bar{q}$ 로 만들 수 없다. 이러한 양자수를 가진 상태가 관측되면, 그것은 반드시 글루온 여기(hybrid meson) 또는 다쿼크 상태와 같은 이국적 하드론이다. $\pi_1(1600)$ 이 $J^{PC} = 1^{-+}$ 후보이다.

3. 바리온 분광학

바리온은 세 개의 쿼크로 구성되며, 전체 파동함수는 파울리 원리에 의해 색, 맛, 스핀, 공간 자유도의 곱에 대해 완전 반대칭이어야 한다.

정의3.3바리온 파동함수

바리온의 전체 파동함수:

\Psi_{\text{total}} = \psi_{\text{color}} \otimes \psi_{\text{flavor}} \otimes \psi_{\text{spin}} \otimes \psi_{\text{space}}

색 파동함수는 항상 반대칭 단일항이다:

\psi_{\text{color}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \epsilon_{\alpha\beta\gamma} |q_\alpha q_\beta q_\gamma\rangle \quad (\text{반대칭})

따라서 나머지 $\psi_{\text{flavor}} \otimes \psi_{\text{spin}} \otimes \psi_{\text{space}}$ 는 대칭이어야 한다.

바닥 상태( $L = 0$ )에서 $\psi_{\text{space}}$ 는 대칭이므로, $\psi_{\text{flavor}} \otimes \psi_{\text{spin}}$ 이 대칭이어야 한다.

유도SU(6) 분류

맛 $SU(3)$ 과 스핀 $SU(2)$ 를 결합한 $SU(6)$ 대칭에서, 각 쿼크는 기본 표현 $\mathbf{6}$ 에 속한다. 세 쿼크의 곱:

\mathbf{6} \otimes \mathbf{6} \otimes \mathbf{6} = \mathbf{56}_S \oplus \mathbf{70}_{MS} \oplus \mathbf{70}_{MA} \oplus \mathbf{20}_A

바닥 상태 바리온은 완전 대칭인 $\mathbf{56}$ 에 속하며, 이는 다시 다음과 같이 분해된다:

\mathbf{56} = (\mathbf{10}, S = 3/2) \oplus (\mathbf{8}, S = 1/2)

$J^P = 1/2^+$ 바리온 팔중항: $p$ , $n$ , $\Lambda$ , $\Sigma^{+,0,-}$ , $\Xi^{0,-}$
$J^P = 3/2^+$ 바리온 십중항: $\Delta^{++,+,0,-}$ , $\Sigma^{*+,*0,*-}$ , $\Xi^{*0,*-}$ , $\Omega^-$

$\Omega^-$ 바리온 ( $sss$ )은 이 분류에 의해 예측된 후 1964년 실험적으로 발견되었다.

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4. 무거운 쿼크 하드론

$c$ , $b$ , $t$ 쿼크를 포함하는 하드론은 고유한 분광학적 특성을 보인다.

정의3.4쿼코니움 (Quarkonium)

쿼코니움은 무거운 쿼크와 그 반쿼크의 속박 상태 $Q\bar{Q}$ 이다:

참모니움 ( $c\bar{c}$ ): $J/\psi$ , $\psi(2S)$ , $\eta_c$ , $\chi_{c0,1,2}$ , $h_c$ , ...
보토모니움 ( $b\bar{b}$ ): $\Upsilon(1S)$ , $\Upsilon(2S)$ , $\eta_b$ , $\chi_{b0,1,2}$ , ...

쿼코니움의 에너지 준위 구조는 수소 원자와 유사하게 쿨롱형 퍼텐셜과 선형 가둠 퍼텐셜의 합으로 기술된다:

V(r) = -\frac{4}{3}\frac{\alpha_s}{r} + \sigma r

여기서 $\sigma \approx 0.18\;\text{GeV}^2 \approx 0.9\;\text{GeV/fm}$ 는 끈 장력(string tension)이다.

예제J/psi의 발견과 11월 혁명

1974년 $J/\psi$ 입자( $c\bar{c}$ , $J^{PC} = 1^{--}$ , $m \approx 3097\;\text{MeV}$ )가 BNL(새뮤얼 팅)과 SLAC(버튼 리히터)에서 동시에 발견되었다. 이 발견은 "11월 혁명"으로 불리며, 참 쿼크의 존재를 확립하고 쿼크 모형을 확정하였다.

$J/\psi$ 의 좁은 붕괴 폭 $\Gamma \approx 93\;\text{keV}$ 는 OZI 규칙(Okubo-Zweig-Iizuka rule)으로 설명된다. 주요 붕괴 $J/\psi \to \text{hadrons}$ 가 $c\bar{c}$ 소멸을 통해야 하므로 최소 세 개의 글루온이 필요하며, $\alpha_s^3$ 에 의해 억제된다:

\Gamma(J/\psi \to \text{hadrons}) \propto \alpha_s^3(m_c)

5. 하드론 질량 스펙트럼

유도구성 쿼크 모형의 질량 공식

구성 쿼크 모형(constituent quark model)에서 하드론의 질량은 구성 쿼크 질량과 색자기적(chromomagnetic) 상호작용의 합으로 근사된다:

M = \sum_i m_i + \sum_{i < j} a_{ij} \frac{\mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j}{m_i m_j}

여기서 $m_i$ 는 구성 쿼크 질량 ( $m_u \approx m_d \approx 310\;\text{MeV}$ , $m_s \approx 480\;\text{MeV}$ ), $a_{ij}$ 는 색자기적 결합 상수이다.

메존의 경우 ( $q\bar{q}$ ):

\mathbf{S}_q \cdot \mathbf{S}_{\bar{q}} = \frac{1}{2}[S(S+1) - 3/2] = \begin{cases} -3/4 & (S = 0) \\ +1/4 & (S = 1) \end{cases}

이로부터 벡터 메존과 의사스칼라 메존의 질량 분리가 설명된다:

m_\rho - m_\pi \approx 630\;\text{MeV}, \qquad m_{K^*} - m_K \approx 400\;\text{MeV}

파이온이 특히 가벼운 것은 카이랄 대칭 깨짐의 유사 골드스톤 보존 성격과 관련되며, 단순 구성 쿼크 모형으로는 완전히 설명되지 않는다.

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6. 격자 QCD와 하드론 스펙트럼

하드론 질량의 제일원리(first-principles) 계산은 격자 QCD(lattice QCD)를 통해 수행된다.

참고격자 QCD의 성과

격자 QCD는 시공간을 이산적 격자 위에 놓고 경로 적분을 몬테카를로 방법으로 수치적으로 계산한다. 쿼크 질량을 입력으로 사용하여 하드론 스펙트럼을 예측할 수 있으며, 현재 양성자 질량을 $\sim 1\%$ 정밀도로 재현하는 데 성공하였다.

핵심적인 점은 양성자 질량( $\sim 938\;\text{MeV}$ )의 대부분이 구성 쿼크의 정지 질량( $m_u + m_u + m_d \approx 9\;\text{MeV}$ )이 아니라 QCD의 동역학적 에너지 -- 글루온 장의 에너지와 쿼크의 운동 에너지 -- 에서 기원한다는 것이다. 이는 질량의 $\sim 99\%$ 가 강한 상호작용의 양자 효과에 의해 생성됨을 의미한다:

M_p \approx \Lambda_{\text{QCD}} \cdot \mathcal{O}(1), \qquad \text{not}\; \sim m_u + m_u + m_d