W/Z 보존 (W and Z Bosons)

1. 약한 상호작용의 매개 입자

약한 상호작용은 $W^\pm$ 보존과 $Z^0$ 보존에 의해 매개된다. 이들은 전약 통합 이론 $SU(2)_L \times U(1)_Y$ 의 게이지 보존이며, 힉스 메커니즘에 의해 질량을 획득한다.

정의4.1W 보존과 Z 보존

| 성질 | $W^\pm$ | $Z^0$ | |:---:|:---:|:---:| | 질량 | $80.377 \pm 0.012\;\text{GeV}/c^2$ | $91.1876 \pm 0.0021\;\text{GeV}/c^2$ | | 붕괴 폭 | $\Gamma_W = 2.085 \pm 0.042\;\text{GeV}$ | $\Gamma_Z = 2.4955 \pm 0.0023\;\text{GeV}$ | | 스핀 | $1$ | $1$ | | 전하 | $\pm 1$ | $0$ | | 수명 | $\sim 3 \times 10^{-25}\;\text{s}$ | $\sim 2.6 \times 10^{-25}\;\text{s}$ |

$W$ 보존은 하전 전류(charged current, CC) 상호작용을, $Z$ 보존은 중성 전류(neutral current, NC) 상호작용을 매개한다.

2. 하전 전류 상호작용 ( $W^\pm$ )

$W$ 보존은 왼손잡이 페르미온의 $SU(2)_L$ 이중항 내에서 전이를 매개한다.

정의4.2하전 전류 라그랑지안

하전 전류 상호작용의 라그랑지안은:

\mathcal{L}_{\text{CC}} = -\frac{g}{\sqrt{2}} \left( J_\mu^+ W^{+\mu} + J_\mu^- W^{-\mu} \right)

하전 전류는 왼손잡이 페르미온에만 결합한다:

렙톤 전류:

J_\mu^+ = \bar{\nu}_{iL} \gamma_\mu \ell_{iL} = \bar{\nu}_i \gamma_\mu \frac{1 - \gamma^5}{2} \ell_i

쿼크 전류:

J_\mu^+ = \bar{u}_{iL} \gamma_\mu V_{ij}^{\text{CKM}} d_{jL}

여기서 $V^{\text{CKM}}$ 은 CKM 행렬이다. 핵심적 특성은 $V - A$ 구조: 벡터( $\gamma_\mu$ )와 축벡터( $\gamma_\mu\gamma^5$ ) 결합이 $1:(-1)$ 의 비율로 결합한다.

참고V - A 구조의 의미

$V - A$ 구조는 약한 하전 전류가 왼손잡이 입자와 오른손잡이 반입자에만 결합함을 의미한다. 이는 패리티 깨짐의 수학적 표현이다:

\gamma_\mu(1 - \gamma^5) = 2\gamma_\mu P_L

결과적으로:

왼손잡이 뉴트리노 $\nu_L$ 는 약한 상호작용에 참여한다
오른손잡이 뉴트리노 $\nu_R$ 은 (존재한다면) 표준모형의 게이지 상호작용에 전혀 참여하지 않는다 ("비활성 뉴트리노")

이 특성은 수달라산-마샤크(Sudarshan-Marshak)와 파인만-겔-만(Feynman-Gell-Mann)에 의해 1958년에 확립되었다.

3. 중성 전류 상호작용 ( $Z^0$ )

정의4.3중성 전류 라그랑지안

$Z$ 보존의 상호작용 라그랑지안은:

\mathcal{L}_{\text{NC}} = -\frac{g}{\cos\theta_W} J_\mu^Z Z^\mu

중성 전류:

J_\mu^Z = \sum_f \bar{f}\gamma_\mu \left( g_V^f - g_A^f \gamma^5 \right) f

여기서 벡터 결합과 축벡터 결합은:

g_V^f = T_3^f - 2Q_f \sin^2\theta_W, \qquad g_A^f = T_3^f

| 페르미온 | $T_3$ | $Q$ | $g_V$ | $g_A$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $\nu_e, \nu_\mu, \nu_\tau$ | $+1/2$ | $0$ | $+1/2$ | $+1/2$ | | $e, \mu, \tau$ | $-1/2$ | $-1$ | $-1/2 + 2\sin^2\theta_W$ | $-1/2$ | | $u, c, t$ | $+1/2$ | $+2/3$ | $+1/2 - 4\sin^2\theta_W/3$ | $+1/2$ | | $d, s, b$ | $-1/2$ | $-1/3$ | $-1/2 + 2\sin^2\theta_W/3$ | $-1/2$ |

중성 전류는 왼손잡이와 오른손잡이 페르미온 모두에 결합하지만, 결합 세기가 다르다.

예제중성 전류의 최초 관측

1973년 CERN의 가르가멜(Gargamelle) 거품 상자 실험에서 뮤온 뉴트리노에 의한 중성 전류 반응이 최초로 관측되었다:

\nu_\mu + e^- \to \nu_\mu + e^- \quad (\text{렙톤 산란})

\nu_\mu + N \to \nu_\mu + X \quad (\text{심층 비탄성 산란})

이 발견은 글래쇼-와인버그-살람(Glashow-Weinberg-Salam) 전약 통합 이론의 핵심 예측을 확인하였으며, 1979년 노벨 물리학상의 기반이 되었다.

4. 페르미 유효 이론과 저에너지 극한

$W$ 보존의 질량이 매우 크므로, 저에너지 ( $\sqrt{s} \ll m_W$ )에서 약한 상호작용은 접촉 상호작용(contact interaction)으로 근사된다.

유도페르미 상수와 W 질량의 관계

$W$ 보존 전파자(propagator)의 저에너지 극한:

\frac{-g_{\mu\nu} + q_\mu q_\nu / m_W^2}{q^2 - m_W^2} \xrightarrow{q^2 \ll m_W^2} \frac{g_{\mu\nu}}{m_W^2}

이로부터 페르미의 4-페르미온 상호작용이 유도된다:

\mathcal{L}_{\text{Fermi}} = -\frac{G_F}{\sqrt{2}} J_\mu^+ J^{-\mu}

페르미 상수 $G_F$ 와 $W$ 질량의 관계:

\frac{G_F}{\sqrt{2}} = \frac{g^2}{8m_W^2}

$v = (\sqrt{2}G_F)^{-1/2} \approx 246\;\text{GeV}$ 와 $m_W = gv/2$ 를 사용하면:

G_F = \frac{1}{\sqrt{2}v^2} = 1.1664 \times 10^{-5}\;\text{GeV}^{-2}

이는 뮤온 붕괴 $\mu^- \to e^- \bar{\nu}_e \nu_\mu$ 의 수명 측정으로부터 가장 정밀하게 결정된다.

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5. W 보존과 Z 보존의 붕괴

정의4.4W 보존의 붕괴 채널

$W^+$ 의 주요 붕괴 채널과 분기비:

렙톤 채널: ( $\approx 10.8\%$ 각각)

W^+ \to e^+\nu_e, \quad \mu^+\nu_\mu, \quad \tau^+\nu_\tau

하드론 채널: ( $\approx 67.4\%$ 합계)

W^+ \to u\bar{d}', \quad c\bar{s}' \quad (\text{CKM 혼합 고려})

$W^+ \to t\bar{b}$ 는 $m_t > m_W$ 이므로 운동학적으로 금지된다.

나무 수준에서 부분 붕괴 폭:

\Gamma(W^+ \to \ell^+\nu_\ell) = \frac{g^2 m_W}{48\pi} = \frac{G_F m_W^3}{6\pi\sqrt{2}} \approx 227\;\text{MeV}

색 인자 $N_c = 3$ 을 고려하면 하드론 채널은 렙톤 채널의 3배이다.

유도Z 보존의 부분 붕괴 폭

$Z$ 보존의 페르미온 쌍으로의 부분 붕괴 폭:

\Gamma(Z \to f\bar{f}) = \frac{G_F m_Z^3}{6\pi\sqrt{2}} N_c^f \left[ (g_V^f)^2 + (g_A^f)^2 \right] \left(1 + \delta_{\text{QCD}} + \delta_{\text{QED}}\right)

여기서 $N_c^f = 1$ (렙톤) 또는 $3$ (쿼크), $\delta_{\text{QCD}} \approx \alpha_s/\pi$ (쿼크 채널에 대한 QCD 보정).

| 채널 | $\Gamma$ (MeV) | 분기비 | |:---:|:---:|:---:| | $Z \to \nu\bar{\nu}$ (각 세대) | $167.2$ | $6.7\%$ | | $Z \to e^+e^-$ | $84.0$ | $3.4\%$ | | $Z \to \text{hadrons}$ | $1744.4$ | $69.9\%$ | | $Z \to \text{invisible}$ (3 $\nu$ ) | $501.6$ | $20.0\%$ |

$Z$ 보존의 비가시적 붕괴 폭으로부터 가벼운 뉴트리노의 세대 수 $N_\nu = 2.984 \pm 0.008$ 이 결정된다.

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6. 정밀 전약 검증

LEP, SLC, 테바트론에서의 정밀 측정은 표준모형의 양자 보정을 검증하는 데 핵심적 역할을 하였다.

예제$\rho$ 매개변수와 톱 쿼크 질량 예측

$\rho$ 매개변수는 $W$ 와 $Z$ 질량의 비율로 정의된다:

\rho = \frac{m_W^2}{m_Z^2 \cos^2\theta_W}

나무 수준에서 $\rho = 1$ 이지만, 양자 보정에 의해:

\Delta\rho \approx \frac{3G_F}{8\pi^2\sqrt{2}} m_t^2

$\Delta\rho$ 가 $m_t^2$ 에 비례하므로, 정밀 전약 데이터의 적합(fit)을 통해 톱 쿼크 질량을 예측할 수 있었다. LEP 시대의 간접 측정 $m_t = 178 \pm 11\;\text{GeV}$ 는 1995년 테바트론에서의 직접 발견값 $m_t = 173.1\;\text{GeV}$ 와 일치하였다. 이는 표준모형의 양자 구조에 대한 놀라운 검증이다.

마찬가지로 힉스 질량에 대한 간접적 제한도:

\Delta\rho \supset -\frac{3G_F m_W^2}{8\pi^2\sqrt{2}} \tan^2\theta_W \ln\frac{m_H^2}{m_Z^2}

에 의해 $m_H \lesssim 200\;\text{GeV}$ 로 제한되었고, 이는 2012년 $m_H = 125\;\text{GeV}$ 의 발견과 일치한다.