산란과 붕괴율 (Cross Sections and Decay Rates)

1. 산란 단면적의 정의

입자물리학에서 산란 단면적(cross section)은 특정 반응이 일어날 확률을 정량화하는 핵심 물리량이다.

정의5.1미분 산란 단면적

입사 플럭스(flux) $\Phi$ 인 빔이 표적(target)에 충돌할 때, 단위 시간당 단위 입체각 $d\Omega$ 으로 산란되는 입자의 수 $dN$ 은:

\frac{dN}{d\Omega} = \Phi \cdot n_T \cdot \frac{d\sigma}{d\Omega}

여기서 $n_T$ 는 표적의 면적 밀도, $d\sigma/d\Omega$ 는 미분 산란 단면적이다.

단면적의 단위는 면적이며, 입자물리학에서는 반(barn)을 사용한다:

1\;\text{barn} = 10^{-24}\;\text{cm}^2 = 10^{-28}\;\text{m}^2

전형적인 단면적 규모:

하드론-하드론 산란: $\sim 10\;\text{mb}$ ( $10^{-26}\;\text{cm}^2$ )
전약 과정: $\sim 1\;\text{nb}$ ( $10^{-33}\;\text{cm}^2$ )
뉴트리노 상호작용: $\sim 10^{-38}\;\text{cm}^2$

2. 페르미의 황금률과 전이 진폭

산란 단면적과 붕괴율의 계산은 양자장론의 S-행렬 형식론에 기초한다.

유도S-행렬과 전이 진폭

S-행렬의 정의:

S_{fi} = \langle f | S | i \rangle = \delta_{fi} + i(2\pi)^4 \delta^{(4)}(p_f - p_i) \mathcal{M}_{fi}

여기서 $\mathcal{M}_{fi}$ 는 불변 행렬 원소(invariant matrix element)이다.

2체 산란 $1 + 2 \to 3 + 4$ 의 질량 중심계(CM frame)에서의 미분 단면적:

\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{1}{64\pi^2 s} \frac{|\mathbf{p}_f|}{|\mathbf{p}_i|} |\overline{\mathcal{M}}|^2

여기서 $s = (p_1 + p_2)^2$ 는 만델스탐(Mandelstam) 변수이고, $|\overline{\mathcal{M}}|^2$ 는 초기 상태 스핀에 대해 평균하고 최종 상태 스핀에 대해 합한 진폭의 제곱이다.

로런츠 불변인 형태:

d\sigma = \frac{1}{2s} \frac{1}{2|\mathbf{p}_i^*|} |\overline{\mathcal{M}}|^2 d\Phi_n

$n$ -체 위상 공간(phase space):

d\Phi_n = (2\pi)^4 \delta^{(4)}\left(p_i - \sum_{f} p_f\right) \prod_{f} \frac{d^3\mathbf{p}_f}{(2\pi)^3 2E_f}

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3. 만델스탐 변수

정의5.2만델스탐 변수

2체 산란 $1 + 2 \to 3 + 4$ 에서 로런츠 불변인 운동학 변수:

s = (p_1 + p_2)^2 = (p_3 + p_4)^2

t = (p_1 - p_3)^2 = (p_2 - p_4)^2

u = (p_1 - p_4)^2 = (p_2 - p_3)^2

이들은 다음 관계를 만족한다:

s + t + u = m_1^2 + m_2^2 + m_3^2 + m_4^2

$s$ 는 총 질량 중심 에너지의 제곱, $t$ 는 운동량 전달의 제곱, $u$ 는 교차 운동량 전달의 제곱이다.

4. 붕괴율

정의5.3붕괴율과 수명

불안정한 입자의 붕괴율(decay rate) $\Gamma$ 는 단위 시간당 붕괴 확률이다. 정지 상태에서:

\Gamma = \frac{1}{\tau}

$\tau$ 는 평균 수명이다. 특정 최종 상태 $f$ 로의 부분 붕괴 폭(partial decay width):

\Gamma_f = \frac{1}{2M} \int |\overline{\mathcal{M}}|^2 d\Phi_n

분기비(branching ratio):

\text{Br}(X \to f) = \frac{\Gamma_f}{\Gamma_{\text{total}}} = \frac{\Gamma_f}{\sum_i \Gamma_i}

예제뮤온 붕괴율의 계산

뮤온의 주된 붕괴 $\mu^- \to e^- \bar{\nu}_e \nu_\mu$ 의 붕괴율은 페르미 이론에서 계산할 수 있다. 4-페르미온 꼭짓점에서의 행렬 원소:

\mathcal{M} = \frac{G_F}{\sqrt{2}} [\bar{u}_{\nu_\mu}\gamma^\alpha(1-\gamma^5)u_\mu][\bar{u}_e\gamma_\alpha(1-\gamma^5)v_{\bar{\nu}_e}]

위상 공간 적분을 수행하면 ( $m_e = 0$ 근사):

\Gamma(\mu \to e\bar{\nu}_e\nu_\mu) = \frac{G_F^2 m_\mu^5}{192\pi^3}

실험값 $\tau_\mu = 2.197 \times 10^{-6}\;\text{s}$ 를 사용하면 $G_F = 1.166 \times 10^{-5}\;\text{GeV}^{-2}$ 을 정밀하게 결정할 수 있다. 이 공식에서 $\Gamma \propto m_\mu^5$ 의 5승 의존성은 약한 상호작용의 V-A 구조와 3체 위상 공간의 결과이다.

전자 질량 보정과 QED 복사 보정을 포함하면:

\Gamma = \frac{G_F^2 m_\mu^5}{192\pi^3} f\!\left(\frac{m_e^2}{m_\mu^2}\right) \left(1 + \frac{3m_\mu^2}{5m_W^2}\right) \left(1 + \frac{\alpha}{2\pi}\left(\frac{25}{4} - \pi^2\right)\right)

5. 파인만 규칙과 단면적 계산

유도QED의 기본 단면적: e+e- -> mu+mu-

QED에서 $e^+e^- \to \mu^+\mu^-$ 의 나무 수준(tree-level) 계산은 파인만 규칙의 가장 기본적인 적용이다.

$s$ -채널 광자 교환의 진폭:

i\mathcal{M} = (-ie)^2 \bar{v}(p_2)\gamma^\mu u(p_1) \frac{-ig_{\mu\nu}}{s} \bar{u}(p_3)\gamma^\nu v(p_4)

스핀 평균/합 후:

|\overline{\mathcal{M}}|^2 = \frac{1}{4}\sum_{\text{spins}}|\mathcal{M}|^2 = \frac{e^4}{s^2}\text{Tr}[\slashed{p}_2\gamma^\mu\slashed{p}_1\gamma^\nu]\text{Tr}[\slashed{p}_3\gamma_\mu\slashed{p}_4\gamma_\nu]

트레이스를 계산하면 ( $m_e = 0$ , $m_\mu \neq 0$ 근사):

|\overline{\mathcal{M}}|^2 = e^4 \left(1 + \cos^2\theta + \frac{4m_\mu^2}{s}\sin^2\theta\right)

미분 단면적 ( $s \gg 4m_\mu^2$ ):

\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{\alpha^2}{4s}(1 + \cos^2\theta)

전체 단면적:

\sigma(e^+e^- \to \mu^+\mu^-) = \frac{4\pi\alpha^2}{3s} = \frac{86.8\;\text{nb}}{s\;[\text{GeV}^2]}

이 공식은 모든 $e^+e^-$ 충돌기의 기본 교정 과정이다.

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6. 공명 산란과 브라이트-위그너 공식

입자가 공명(resonance) 상태를 형성할 때 단면적이 급격히 증가한다.

정의5.4브라이트-위그너 공식

스핀- $J$ 공명 상태 $R$ 의 생성과 붕괴를 통한 산란 $a + b \to R \to c + d$ 의 단면적:

\sigma(s) = \frac{\pi}{p_i^2} \frac{(2J+1)}{(2S_a+1)(2S_b+1)} \frac{\Gamma_i \Gamma_f}{(E_{\text{cm}} - M_R)^2 + \Gamma_{\text{total}}^2/4}

여기서:

$p_i$ : 질량 중심계에서의 초기 상태 운동량
$\Gamma_i = \Gamma(R \to a+b)$ : 초기 채널의 부분 폭
$\Gamma_f = \Gamma(R \to c+d)$ : 최종 채널의 부분 폭
$M_R$ : 공명 질량
$\Gamma_{\text{total}}$ : 전체 붕괴 폭

$Z$ 보존의 선 형태(line shape)는 이 공식으로 정밀하게 기술되며, LEP에서의 $Z$ 공명 스캔은 $m_Z$ , $\Gamma_Z$ 를 가장 정밀하게 결정하였다.

예제Z 공명의 선 형태

$e^+e^-$ 충돌에서 $Z$ 공명 부근의 하드론 생성 단면적:

\sigma_{\text{had}}(s) = \sigma_{\text{had}}^{\text{peak}} \frac{s\Gamma_Z^2}{(s - m_Z^2)^2 + s^2\Gamma_Z^2/m_Z^2}

피크 단면적:

\sigma_{\text{had}}^{\text{peak}} = \frac{12\pi}{m_Z^2} \frac{\Gamma_{ee}\Gamma_{\text{had}}}{\Gamma_Z^2} \approx 41.5\;\text{nb}

LEP에서 $\sqrt{s} = 88$ -- $94\;\text{GeV}$ 범위에서 $Z$ 선 형태를 정밀 스캔하여 다음을 결정하였다:

m_Z = 91.1876 \pm 0.0021\;\text{GeV}

\Gamma_Z = 2.4955 \pm 0.0023\;\text{GeV}

이 측정의 정밀도는 $\sim 2 \times 10^{-5}$ 수준으로, LEP 빔 에너지의 교정에는 달의 조석력과 근처 TGV 열차의 누설 전류까지 고려해야 했다.