파톤 모형 (Parton Model)

1. 심층 비탄성 산란과 핵자 구조

1960년대 후반 SLAC-MIT 실험에서 고에너지 전자를 양성자에 충돌시켰을 때, 양성자 내부에 점 모양의 산란 중심이 존재한다는 것이 밝혀졌다. 파인만(Feynman)은 이들을 파톤(parton)이라 명명하였다.

정의5.1심층 비탄성 산란 (DIS)

심층 비탄성 산란(Deep Inelastic Scattering, DIS)은 고에너지 렙톤이 핵자와 충돌하여 핵자가 파괴되는 과정이다:

\ell(k) + N(P) \to \ell'(k') + X

운동학 변수:

Q^2 = -q^2 = -(k - k')^2 > 0 \quad (\text{가상 광자의 사시 질량 제곱})

\nu = \frac{P \cdot q}{M_N} = E - E' \quad (\text{실험실계에서의 에너지 전달})

x = \frac{Q^2}{2P \cdot q} = \frac{Q^2}{2M_N\nu} \quad (\text{비요르켄 변수},\; 0 \leq x \leq 1)

y = \frac{P \cdot q}{P \cdot k} = \frac{\nu}{E} \quad (\text{비탄성도},\; 0 \leq y \leq 1)

이 변수들은 $Q^2 = sxy$ 의 관계를 만족한다 ( $s = (k+P)^2$ ).

2. 구조 함수와 스케일링

DIS의 미분 단면적은 두 개의 구조 함수(structure function)로 기술된다.

정의5.2DIS 구조 함수

전자기 DIS의 이중 미분 단면적:

\frac{d^2\sigma}{dx\,dQ^2} = \frac{4\pi\alpha^2}{xQ^4}\left[\left(1 - y + \frac{y^2}{2}\right)F_2(x, Q^2) - \frac{y^2}{2}\,2xF_1(x, Q^2)\right]

또는 동등하게, 세로 방향 구조 함수 $F_L = F_2 - 2xF_1$ 을 도입하면:

\frac{d^2\sigma}{dx\,dQ^2} = \frac{4\pi\alpha^2}{xQ^4}\left[\left(1 - y\right)F_2 + \frac{y^2}{2}\,2xF_1\right]

비요르켄 스케일링(Bjorken scaling): $Q^2 \to \infty$ , $\nu \to \infty$ 이면서 $x = Q^2/(2M_N\nu)$ 가 고정된 극한에서:

F_1(x, Q^2) \to F_1(x), \qquad F_2(x, Q^2) \to F_2(x)

구조 함수가 $Q^2$ 에 무관해지는 이 현상은 양성자 내부에 점 모양의 구성 입자가 존재함을 시사한다.

3. 파톤 모형의 공식화

유도파톤 모형에서의 구조 함수

무한 운동량 틀(Infinite Momentum Frame, IMF)에서 핵자를 기술한다. 핵자의 운동량 $P$ 가 매우 클 때, 내부 파톤의 횡방향 운동량과 질량을 무시할 수 있다. 맛 $f$ 의 파톤이 핵자 운동량의 분율 $\xi$ 를 가질 확률 밀도를 $f_i(\xi)$ 라 하면:

전자-파톤 산란의 단면적 (파톤은 점 입자로 취급):

\frac{d^2\hat{\sigma}}{d\hat{Q}^2} = \frac{2\pi\alpha^2 Q_i^2}{\hat{s}^2}\left(1 + \left(1-\frac{Q^2}{\hat{s}}\right)^2\right)

핵자 단면적은 파톤 분포에 대한 중첩:

F_2(x) = \sum_i Q_i^2\, x\, f_i(x)

2xF_1(x) = F_2(x) \qquad (\text{칼란-그로스 관계, Callan-Gross relation})

칼란-그로스 관계는 파톤이 스핀- $1/2$ 임을 반영한다. 스핀-0 파톤이면 $F_1 = 0$ 이 될 것이다.

양성자의 경우:

F_2^{ep}(x) = x\left[\frac{4}{9}(u(x) + \bar{u}(x)) + \frac{1}{9}(d(x) + \bar{d}(x)) + \frac{1}{9}(s(x) + \bar{s}(x)) + \cdots\right]

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4. 파톤 분포 함수 (PDF)

정의5.3파톤 분포 함수

파톤 분포 함수(Parton Distribution Function, PDF) $f_i(x, Q^2)$ 는 운동량 분율 $x$ 와 분해능 스케일 $Q^2$ 에서 핵자 내부의 맛 $i$ 파톤을 발견할 확률 밀도이다.

주요 합 규칙:

운동량 합 규칙:

\sum_i \int_0^1 x\, f_i(x, Q^2)\, dx = 1

파톤이 핵자의 전체 운동량을 운반한다. 실험적으로 쿼크와 반쿼크는 운동량의 $\sim 50\%$ 만 운반하며, 나머지 $\sim 50\%$ 는 글루온이 운반한다.

바리온 수 합 규칙:

\int_0^1 [u(x) - \bar{u}(x)]\, dx = 2, \qquad \int_0^1 [d(x) - \bar{d}(x)]\, dx = 1

고트프리드 합 규칙:

\int_0^1 \frac{F_2^{ep} - F_2^{en}}{x}\, dx = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\int_0^1 [\bar{u}(x) - \bar{d}(x)]\, dx

NMC 실험에서 이 적분값이 $1/3$ 이 아님이 관측되어, $\bar{u} \neq \bar{d}$ (바다 쿼크의 맛 비대칭)가 확인되었다.

5. QCD 보정과 DGLAP 발전 방정식

비요르켄 스케일링은 근사적으로만 성립하며, QCD 보정에 의해 구조 함수는 $Q^2$ 에 대해 대수적으로 변한다.

유도DGLAP 발전 방정식

독터-그리보프-리파토프-알타렐리-파리시(DGLAP) 방정식은 파톤 분포의 $Q^2$ 의존성을 기술한다:

\frac{\partial f_i(x, Q^2)}{\partial \ln Q^2} = \frac{\alpha_s(Q^2)}{2\pi} \sum_j \int_x^1 \frac{d\xi}{\xi}\, P_{ij}\!\left(\frac{x}{\xi}\right) f_j(\xi, Q^2)

여기서 $P_{ij}(z)$ 는 분기 함수(splitting function)로, 파톤 $j$ 가 운동량 분율 $z$ 를 가진 파톤 $i$ 로 분기할 확률을 나타낸다.

선도 차수(Leading Order, LO) 분기 함수:

P_{qq}(z) = C_F \frac{1+z^2}{(1-z)_+} + \frac{3}{2}C_F\,\delta(1-z)

P_{gq}(z) = C_F \frac{1+(1-z)^2}{z}

P_{qg}(z) = T_R [z^2 + (1-z)^2]

P_{gg}(z) = 2C_A \left[\frac{z}{(1-z)_+} + \frac{1-z}{z} + z(1-z)\right] + \frac{\beta_0}{2}\delta(1-z)

$C_F = 4/3$ , $C_A = 3$ , $T_R = 1/2$ .

DGLAP 방정식은 $Q^2$ 가 증가하면 $x$ 가 작은 쪽으로 파톤 분포가 진화함을 예측한다. 이는 HERA 충돌기의 측정에 의해 정밀하게 확인되었다.

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6. 하드론 충돌의 인수분해 정리

정의5.4인수분해 정리

QCD 인수분해 정리(factorization theorem)에 의하면, 하드론 충돌에서의 경질(hard) 과정의 단면적은 파톤 분포와 파톤 수준 단면적의 합성곱으로 분해된다:

\sigma(h_1 h_2 \to X) = \sum_{i,j} \int dx_1\, dx_2\, f_i^{h_1}(x_1, \mu_F^2)\, f_j^{h_2}(x_2, \mu_F^2)\, \hat{\sigma}_{ij}(x_1 x_2 s, \mu_F^2, \mu_R^2)

여기서:

$f_i^{h}(x, \mu_F^2)$ : 하드론 $h$ 내의 파톤 $i$ 의 PDF (인수분해 스케일 $\mu_F$ )
$\hat{\sigma}_{ij}$ : 파톤 수준의 경질 산란 단면적 (섭동론적으로 계산 가능)
$\mu_R$ : 재규격화 스케일

이 정리는 장거리(비섭동론적) 효과를 PDF에 흡수하고, 단거리(섭동론적) 효과를 $\hat{\sigma}$ 에서 계산할 수 있게 하는 QCD 계산의 근간이다.

예제LHC에서의 힉스 생성 단면적

LHC ( $pp$ , $\sqrt{s} = 13\;\text{TeV}$ )에서의 힉스 보존 생성의 지배적 채널은 글루온-글루온 융합(gluon-gluon fusion)이다:

\sigma(pp \to H + X) = \int dx_1\, dx_2\, g(x_1, \mu_F^2)\, g(x_2, \mu_F^2)\, \hat{\sigma}(gg \to H)

파톤 수준의 단면적 (톱 쿼크 루프를 통해):

\hat{\sigma}(gg \to H) = \frac{\alpha_s^2}{576\pi} \frac{G_F\sqrt{2}}{s} \left| \frac{3}{2}\tau[1 + (1-\tau)f(\tau)] \right|^2

여기서 $\tau = 4m_t^2/\hat{s}$ , $f(\tau)$ 는 루프 함수이다.

NNLO QCD + NLO EW 보정을 포함한 예측:

\sigma(pp \to H) \approx 48.6\;\text{pb} \quad (\sqrt{s} = 13\;\text{TeV})

이론적 불확도는 스케일 변동( $\sim 5\%$ )과 PDF 불확도( $\sim 3\%$ )에 의해 지배된다.

참고PDF의 전역 적합

현대의 PDF는 NNPDF, CT, MSHT 등의 그룹에 의해 전 세계 실험 데이터의 전역 적합(global fit)을 통해 결정된다. 사용되는 데이터는:

HERA DIS 데이터 ( $e^\pm p$ 산란)
고정 표적 DIS 데이터
드렐-얀(Drell-Yan) 과정 ( $pp, p\bar{p} \to \ell^+\ell^- + X$ )
제트 생성 데이터
$W/Z$ 보존 생성 데이터
LHC의 톱 쿼크 쌍생성 데이터

NNLO 정밀도의 PDF는 LHC 물리학의 핵심 입력이며, PDF 불확도는 많은 측정에서 지배적인 체계적 불확도 원천이다.